CMR: ($\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$) $\geq$ 9 với mọi x,y,z > 0

Đáp án:

`(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9` với mọi `x;y;z>0`

Giải thích các bước giải:

Ta có:

 `(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)`

`=1+x/y+x/z+y/x+1+y/z+z/x+z/y+1`

`=(1+1+1)+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)`

`=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)`

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho `x;y;z` không âm ta có:

`x/y+y/x>=2\sqrt{x/y.(y)/x}=2\sqrt1=2`

`x/z+z/x>=2\sqrt{x/z.(z)/x}=2\sqrt1=2`

`y/z+z/y>=2\sqrt{y/z.(z)/y}=2\sqrt1=2`

`\to (x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)>=2+2+2=6`

`\to 3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)>=6+3=9`

`\to (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9`

`\to đpcm`

Vậy `(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9` với mọi `x;y;z>0`