CMR: ($\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$) $\geq$ 9 với mọi x,y,z > 0

0 bình luận về “CMR: ($\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$) $\geq$ 9 với mọi x,y,z > 0”

1. Đáp án:

   `(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9`

   Giải thích các bước giải:

   `(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)`

   `=1+x/y+x/z+y/x+1+y/z+z/x+z/y+1`

   `=3+(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(x/z+z/x)`

   Áp dụng BĐT Cô-si cho `3` số `x,y,z` không âm :

   `x/y+y/z>=2sqrt(x/y . y/z)=2`

   `y/z+z/y>=2sqrt(y/z . z/y)=2`

   `x/z+z/x>=2sqrt(x/z . z/x)=2`

   `to (x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(x/z+z/x)>=2+2+2=6`

   `to 3+(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(x/z+z/x)>=3+6=9`

   hay `(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9`

   Bình luận

2. Đáp án:

   `(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9` với mọi `x;y;z>0`

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

    `(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)`

   `=1+x/y+x/z+y/x+1+y/z+z/x+z/y+1`

   `=(1+1+1)+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)`

   `=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)`

   Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho `x;y;z` không âm ta có:

   `x/y+y/x>=2\sqrt{x/y.(y)/x}=2\sqrt1=2`

   `x/z+z/x>=2\sqrt{x/z.(z)/x}=2\sqrt1=2`

   `y/z+z/y>=2\sqrt{y/z.(z)/y}=2\sqrt1=2`

   `\to (x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)>=2+2+2=6`

   `\to 3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y)>=6+3=9`

   `\to (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9`

   `\to đpcm`

   Vậy `(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9` với mọi `x;y;z>0`

   Bình luận