Toán CMR:n^3+2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn 26/07/2021 By Rose CMR:n^3+2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
$n$ chẵn $⇒n$ có dạng: $2k$ $(k∈N)$ Ta có: $n^3+2012n$ $=(n^3-4n)+2016n$ $=n(n^2-4)+2016n$ $=n[(n^2-2n)+(2n-4)]+2016n$ $=n(n-2)(n+2)+2016n$ $(1)$Thay $n=2k$ vào $(1)$ ta được: $2k(2k-2)(2k+2)+2016.2k$$=8(k-1)k(k+1)+4032k$Vì $(k-1)k(k+1)$ là $3$ số tự nhiên liên tiếp nên $⇒(k-1)k(k+1)$ ⋮ $2$ và $(k-1)k(k+1)$ ⋮ $3$ Mà $(2,3)=1⇒(k-1)k(k+1)$ ⋮ $6$ $⇒8(k-1)k(k+1)$ ⋮ $48$ Lại có: $4032k$ ⋮ $48$ $⇒8(k-1)k(k+1)+4032k$ ⋮ $48$ $⇒n^3+2012n$ ⋮ $48$ với mọi $n$ chẵn. Trả lời
Đáp án: Lần này nhường em đi mod :)) Đặt `n = 2k` `=> n^3 + 2012n = (2k)^3 + 2012.2k = 8k^3 + 4024k` ` = 8k^3 – 8k + 4032k` `= 8(k^3 – k) + 4032k` ` = 8[k(k^2 – 1)] + 4032k` ` = 8[k.(k^2 – k + k -1)] + 4032k` ` = 8k.[(k^2 – k) + (k – 1)] + 4032k` ` = 8k.[k(k – 1) + (k – 1)] + 4032k` ` = 8k(k – 1)(k + 1) + 4032k` Do `k – 1, k , k + 1` là 3 số tự nhiên liên tiếp `=> (k – 1)k(k + 1)` chia hết cho 6 `=> 8(k – 1)k(k + 1)` chia hết cho 6.8 tức là 48 Mà `4032k` chia hết cho 48(do 4032 chia hết cho 48) `=> 8(k-1)k(k + 1) + 4032k` chia hết cho 48 `=> n^3 + 2012n` chia hết cho 48 Giải thích các bước giải: Trả lời