CMR:n^3+2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn

0 bình luận về “CMR:n^3+2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn”

1. $n$ chẵn $⇒n$ có dạng: $2k$ $(k∈N)$

   Ta có: $n^3+2012n$

   $=(n^3-4n)+2016n$

   $=n(n^2-4)+2016n$

   $=n[(n^2-2n)+(2n-4)]+2016n$

   $=n(n-2)(n+2)+2016n$ $(1)$
   Thay $n=2k$ vào $(1)$ ta được:

   $2k(2k-2)(2k+2)+2016.2k$
   $=8(k-1)k(k+1)+4032k$
   Vì $(k-1)k(k+1)$ là $3$ số tự nhiên liên tiếp nên

   $⇒(k-1)k(k+1)$ ⋮ $2$ và $(k-1)k(k+1)$ ⋮ $3$

   Mà $(2,3)=1⇒(k-1)k(k+1)$ ⋮ $6$

   $⇒8(k-1)k(k+1)$ ⋮ $48$

   Lại có: $4032k$ ⋮ $48$

   $⇒8(k-1)k(k+1)+4032k$ ⋮ $48$

   $⇒n^3+2012n$ ⋮ $48$ với mọi $n$ chẵn.

   Bình luận

2. Đáp án:

   Lần này nhường em đi mod :))

   Đặt `n = 2k`

   `=> n^3 + 2012n = (2k)^3 + 2012.2k = 8k^3 + 4024k`

   ` = 8k^3 – 8k + 4032k`

   `= 8(k^3 – k) + 4032k`

   ` = 8[k(k^2 – 1)] + 4032k`

   ` = 8[k.(k^2 – k + k  -1)] + 4032k`

   ` = 8k.[(k^2 – k) + (k – 1)] + 4032k`

   ` = 8k.[k(k – 1) + (k – 1)] + 4032k`

   ` = 8k(k – 1)(k + 1) + 4032k`

   Do `k – 1, k , k + 1` là 3 số tự nhiên liên tiếp

   `=> (k – 1)k(k + 1)` chia hết cho 6 

   `=> 8(k – 1)k(k + 1)` chia hết cho 6.8 tức là 48

   Mà `4032k` chia hết cho 48(do 4032 chia hết cho 48)

   `=> 8(k-1)k(k + 1) + 4032k` chia hết cho 48

   `=> n^3 + 2012n` chia hết cho 48

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận