CMR : nếu `a^2+b^2=m^2+n^2=1` thì `|am+bn|<=1` `~XA`

0 bình luận về “CMR : nếu `a^2+b^2=m^2+n^2=1` thì `|am+bn|<=1` `~XA`”

1. Đáp án:

    C/m BĐT Phụ sau : `(uv + pq)^2 <= (u^2 + p^2)(v^2 + q^2) (1)`
   Thật vậy
   `(1) <=> u^2v^2 + p^2v^2 + q^2u^2 + q^2p^2 – u^2v^2 – 2uvpq – p^2q^2 >= 0`
   `<=> p^2v^2 – 2uvpq + q^2u^2 >= 0`
   `<=> (pv)^2 – 2. pv . qu + (qu)^2 >= 0`
   `<=> (pv – qu)^2 >= 0` (luôn đúng)

   Dấu “=” xảy ra `<=> pv – qu <=> pv = qu <=>  u/v = p/q`
   Áp dụng BĐT Phụ trên ta có

   `(am + bn)^2 <= (a^2 + b^2)(m^2 + n^2) = 1.1 = 1`
   `-> |am + bn| <= 1`
   Dấu “=” xảy ra `<=> a/m = b/n`

   Giải thích các bước giải:

    

   Trả lời

2. @py

   `a^2+b^2=m^2+n^2=1`

   áp dụng `bu-nhi-a`

   `⇒1=(a^2+b^2)×(m^2+n^2)≥(am+bn)^2`

   `⇔1≥(am+bn)^2≥0`

   `⇔1≥|am+bn|`

   `’=’` xẩy ra khi:
   `a/m=b/n`

    

   Trả lời