CMR nếu a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác thì $a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$

0 bình luận về “CMR nếu a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác thì $a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$”

1. Đáp án + Giải thích các bước giải:

   Ta có :

   $\begin{cases}a<b+c\\b<c+a\\c<b+a\end{cases} \to  \begin{cases}a.a<a.(b+c)\\b.b<b.(c+a)\\c.c<c.(b+a)\end{cases} \to \begin{cases}a^2<ab+ac\\b^2<bc+ab\\c^2<bc+ac\end{cases}$

   Cộng vế theo vế ta được :

   `a^2+b^2+c^2<ab+ac+bc+ab+bc+ac`

   `<=> a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)`

   Bình luận

2. Ta có bất đẳng thức tam giác :

   a < b + c

   b < a + c

   c < a + b

   Khi đó :

   ⇒ a.a < a ( b + c )

   ⇒ b.b < b ( a + c )

   ⇒ c.c < c ( a + b )

   Suy ra :

   ⇒ a² < ab + ac

   ⇒ b² < ab + bc

   ⇒ c² < ac + bc

   Mà :

   a² + b² + c² < ab + ac + ab + bc + ac + bc

   a² + b² + c² < 2ab + 2ac + 2bc

   a² + b² + c² < 2 ( ab + ac + bc )   ( đpcm )

   Bình luận