CMR nếu a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác thì
$a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$
CMR nếu a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác thì $a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$
By Ayla
By Ayla
CMR nếu a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác thì
$a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$
Đáp án + Giải thích các bước giải:
Ta có :
$\begin{cases}a<b+c\\b<c+a\\c<b+a\end{cases} \to \begin{cases}a.a<a.(b+c)\\b.b<b.(c+a)\\c.c<c.(b+a)\end{cases} \to \begin{cases}a^2<ab+ac\\b^2<bc+ab\\c^2<bc+ac\end{cases}$
Cộng vế theo vế ta được :
`a^2+b^2+c^2<ab+ac+bc+ab+bc+ac`
`<=> a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)`
Ta có bất đẳng thức tam giác :
a < b + c
b < a + c
c < a + b
Khi đó :
⇒ a.a < a ( b + c )
⇒ b.b < b ( a + c )
⇒ c.c < c ( a + b )
Suy ra :
⇒ a² < ab + ac
⇒ b² < ab + bc
⇒ c² < ac + bc
Mà :
a² + b² + c² < ab + ac + ab + bc + ac + bc
a² + b² + c² < 2ab + 2ac + 2bc
a² + b² + c² < 2 ( ab + ac + bc ) ( đpcm )