CMR nếu m,n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m^2+m=4n^2+n thì m-n và 4m+4n+1 đều là số chính phương Giúp em ạ

0 bình luận về “CMR nếu m,n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m^2+m=4n^2+n thì m-n và 4m+4n+1 đều là số chính phương Giúp em ạ”

1. Giải thích các bước giải:

   Từ giả thiết ta có: 

   $\eqalign{
     & 3{m^2} + m = 4{n^2} + n  \cr 
     &  \Leftrightarrow 4{m^2} + m – 4{n^2} – n = {m^2}  \cr 
     &  \Leftrightarrow 4(m – n)(m + n) + (m – n) = {m^2}  \cr 
     &  \Leftrightarrow (m – n)(4m + 4n + 1) = {m^2} \cr} $

   Giả sử m – n, 4m + 4n + 1 đều chia hết cho 1 số d nào đó với d thuộc N* và d > 1

   Suy ra: (m – 1)(4m + 4n + 1) chia hết cho $d^{2}$

   $\eqalign{
     &  \Rightarrow {m^2} \vdots {d^2}  \cr 
     &  \Rightarrow m \vdots d  \cr 
     &  \Rightarrow n \vdots d(m – n \vdots d) \cr} $

   Khi đó: 4m + 4n + 1 chia cho d dư 1 (Vô lí)

   Vậy m – n, 4m + 4n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

   Ta lại có bổ đề như sau: 

   Với a, b là 2 số nguyên tố cùng nhau và a.b = c^2 thì a, b đều là số chính phương

   Giả sử a, b không là số chính phương

   Khi phân tích thành thừa số nguyên tố thì giả sử a chứa thừa số nguyên tố p với m lẻ

   Do (a;b) = 1 nên b không chứa p

   Khi đó: $c^{2}$ chứa thừa số nguyên tố p với mũ lẽ (Vô lí)

   Vậy a, b đều là số chính phương

   Áp dụng bổ đề trên ta có điều phải chứng minh.

   Bình luận