CMR: `P(x) = ax^(3) + bx^(2) + cx + d` có giá trị nguyên với mọi `x` nguyên khi và chỉ khi `6a, 2b, a + b + c` và `d` là số nguyên

0 bình luận về “CMR: `P(x) = ax^(3) + bx^(2) + cx + d` có giá trị nguyên với mọi `x` nguyên khi và chỉ khi `6a, 2b, a + b + c` và `d` là số nguyên”

1. Giải thích các bước giải:

   Với $x = 0$, ta có

   $P(0) = d$

   Do $P(0)$ là số nguyên nên $d$ là số nguyên

   Với $x = 1$, ta có

   $P(1) = a + b + c + d$

   $\Leftrightarrow a + b + c = P(1) – d$

   Do $P(1)$ và $d$ là số nguyên nên $a + b + c$ là số nguyên

   Ta có

   $P(-1) = -a + b – c + d$

   Suy ra

   $P(1) + P(-1) = 2b + 2d$

   $\Leftrightarrow 2b = P(1) + P(-1) – 2d$

   Do $P(1), P(-1), 2d$ là các số nguyên nên $2b$ là số nguyên.

   $P(2) = 8a + 4b + 2c + d$

   $\Leftrightarrow P(2) = 6a + 2(a + b + c) + 2b + d$

   $\Leftrightarrow 6a = P(2) – 2(a + b + c) – 2b – d$

   Do $a + b + c$, $2b$, $d$ là các số nguyên nên $P(2) – 2(a + b + c) – 2b – d$ là số nguyên, suy ra $6a$ là số nguyên.

   Bình luận