cmr với a b c là các số nguyên thì : (a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3 chia hết cho 24

0 bình luận về “cmr với a b c là các số nguyên thì : (a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3 chia hết cho 24”

1. `(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3`

   Đặt `a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z`

   `=>x+y+z=a+b-c+b+c-a+c+a-b=a+b+c`

   `=>(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3`

   `=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3`

   `=x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3z(x+y)(x+y+z)-x^3-y^3-z^3`

   `=3xy(x+y)+3z(x+y)(x+y+z)`

   `=3(x+y)(xy+xz+zy+z^2)`

   `=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]`

   `=3(x+y)(y+z)(x+z)`

   `=3(a+b-c+b+c-a)(b+c-a+c+a-b)(a+b-c+c+a-b)`

   `=3.2b.2c.2a`

   `=24abc vdots 24`

   Vậy `(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3vdots24.`

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:

   `(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3`

   Đặt `a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z`

   `=>x+y+z=a+b-c+b+c-a+c+a-b=a+b+c`

   `=>(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3`

   `=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3`

   `=x^3+y^3+z^3+3xy(x+y)+3z(x+y)(x+y+z)-x^3-y^3-z^3`

   `=3xy(x+y)+3z(x+y)(x+y+z)`

   `=3(x+y)(xy+xz+zy+z^2)`

   `=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]`

   `=3(x+y)(y+z)(x+z)`

   `=3(a+b-c+b+c-a)(b+c-a+c+a-b)(a+b-c+c+a-b)`

   `=3.2b.2c.2a`

   `=24abc vdots 24`

        Vậy `(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3vdots24.`

   Bình luận