cmr với mọi n thuộc z: (n²+2n+5)³-(n+1)²+2012 chia hết cho 6

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$P=(n^2+2n+5)^2-(n+1)^2+2012$

$\to P=((n+1)^2+4)^3-(n+1)^2+2012$

Đặt $(n+1)^2=t, t\in N, t$ là số chính phương

$\to P=(t+4)^3-t+2012$

$\to P=t^3+12t^2+47t+2076$

$\to P=t^3-t+48t+2076+12t^2$

$\to P=t(t^2-1)+48t+2076+12t^2$

$\to P=t(t-1)(t+1)+48t+2076+12t^2$

Ta có $t\in N\to t-1, t,t +1$ là $3$ số nguyên liên tiếp

$\to t(t-1)(t+1)\quad\vdots\quad 2, 3$

$\to t(t-1)(t+1)\quad\vdots\quad 2\cdot 3$ vì $(2,3)=1$

$\to t(t-1)(t+1)\quad\vdots\quad 6$

$\to t(t-1)(t+1)+48t+2076+12t^2\quad\vdots\quad 6$

$\to P\quad\vdots\quad 6$

$\to (n^2+2n+5)^2-(n+1)^2+2012\quad\vdots\quad 6$

$\to đpcm$