CMR với mọi số a, ta có: a^5-a chia hết cho 30

0 bình luận về “CMR với mọi số a, ta có: a^5-a chia hết cho 30”

1. Ta có

   $A = a^5 – a = a(a^4-1)$

   $= a(a^2-1)(a^2+1)$

   $= a (a-1)(a+1)(a^2+1)$

   Để cminh A chia hết cho 30, ta cần cminh nó chia hết cho 5 và 6.

   Trước hết, ta cminh A chia hết cho 5.

   Thật vậy, ta có $A = a(a^2-1)(a^2+1)$. Nếu $a \vdots 5$ thì hiển nhiên $A \vdots 5$.

   Với $a$ ko chia hết cho 5, thì $a^2$ có tận cùng là 1, 4, 6, 9. Khi đó, $a^2+1$ có tận cùng là 2, 5, 7, 0 và $a^2-1$ có tận cùng là 0, 3, 5, 8.

   Khi đó, $(a^2-1)(a^2+1)$ có tận cùng là 0 hoặc 5. Do đó $A$ chia hết cho 5.

   Mặc khác, ta để ý rằng $a(a-1)(a+1)$ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3.

   Vậy $a(a-1)(a+1)$ chia hết cho 2 và3.

   Do đó $A$ chia hết cho 6.

   Vậy $A$ chia hết cho $BCNN(5,6) = 30$.

   Bình luận

2. Đáp án:

   A=a^5-a
   =a(a^4-1)
   =a(a-1)(a+1)(a^2+1)
   a(a-1)(a+1) chia hết cho 6
   nếu a=5k => A chia hết cho 5.6=30
   nếu a=5k+1 => -1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 30
   Nếu a=5k+2 => ^2+1=25k^2+20k+5 chia hết cho 5
   => A chia hết cho 10
   nếu a=5k+3 =>^2+1=25k^2+30k+10 chia hết cho 5
   =>A chia hết cho 30
   Nếu a=5k+4 =>+1=5k+5 chia hết cho 5
   =>A chia hết cho 30
   Vậy với n nguyên dương thì a^5-a chia hết cho 30

    

    

   Bình luận