Cmr: với mọi số nguyên lẻ thì n^6-n^4-n^2+1 chia hết cho 128

0 bình luận về “Cmr: với mọi số nguyên lẻ thì n^6-n^4-n^2+1 chia hết cho 128”

1. Đặt

   $A = n^6 – n^4 – n^2 + 1$

   $= n^4(n^2-1) – (n^2-1)$

   $= (n^2-1)(n^4-1)$

   $= (n-1)(n+1) (n^2-1)(n^2+1)$

   $= (n-1)(n+1)(n-1)(n+1)(n^2 + 1)$

   $= (n-1)^2 (n+1)^2 (n^2 + 1)$

   Do $n$ là số nguyên lẻ nên ta có $n = 2k +1 $ với $k$ là một số nguyên bất kỳ. Thay vào ta có

   $A = (2k + 1-1)^2 (2k + 1 + 1)^2 [(2k+1)^2 + 1]$

   $= 4k^2 .4(k+1)^2 (4k^2 + 4k + 2)$

   $= 32 k^2 (k+1)^2 (2k^2 + 2k + 1)$

   $= 32 [k(k+1)]^2 (2k^2 + 2k + 1)$

   Ta thấy $k(k+1)$ là tích hai số nguyên liên tiếp, suy ra tích này chia hết cho $2$. Vậy $[k(k+1)]^2$ chia hết cho $4$.

   Suy ra $A$ chia hết cho $32 . 4 = 128$ 

   Bình luận