CMR với mọi số nguyên n thì n^3+3n^2+2018n chia hết cho 6 23/07/2021 Bởi Valentina CMR với mọi số nguyên n thì n^3+3n^2+2018n chia hết cho 6
Ta có: n³ + 3n² +2018n = n³ + 3n² +2n + 2016n Vì 2016⋮ 6 nên 2016n⋮ 6 do đó buộc n³ + 3n² +2n⋮ 6 Ta có: n³ + 3n² +2n = n².( n + 1 ) + 2n.( n + 1 ) = ( n + 1).n.( n+ 2 ) Ta thấy n, n+1, n+2 là 3 số nguyên liên tiếp ⇒ tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3 Mà ( 2; 3)= 1 ⇒ ( n + 1).n.( n+ 2 )⋮ 2.3 hay ( n + 1).n.( n+ 2 )⋮ 6 hay n³ + 3n² +2n⋮ 6 ⇒ n³ + 3n² +2018n⋮ 6 Bình luận
n³+3n²+2018n =n³+3n²+2016n+2n mà 2016n$\vdots$6 (1) ⇒n³+3n²+2n =n(n²+3n+2) =n[n(n+2)+(n+2)] =n(n+1)(n+1)$\vdots$1.2.3$\vdots$6 (2) -Từ (1) và (2) ⇒n³+3n²+2018n$\vdots$6 Bình luận
Ta có: n³ + 3n² +2018n = n³ + 3n² +2n + 2016n
Vì 2016⋮ 6 nên 2016n⋮ 6
do đó buộc n³ + 3n² +2n⋮ 6
Ta có: n³ + 3n² +2n = n².( n + 1 ) + 2n.( n + 1 ) = ( n + 1).n.( n+ 2 )
Ta thấy n, n+1, n+2 là 3 số nguyên liên tiếp ⇒ tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3
Mà ( 2; 3)= 1 ⇒ ( n + 1).n.( n+ 2 )⋮ 2.3
hay ( n + 1).n.( n+ 2 )⋮ 6
hay n³ + 3n² +2n⋮ 6
⇒ n³ + 3n² +2018n⋮ 6
n³+3n²+2018n
=n³+3n²+2016n+2n
mà 2016n$\vdots$6 (1)
⇒n³+3n²+2n
=n(n²+3n+2)
=n[n(n+2)+(n+2)]
=n(n+1)(n+1)$\vdots$1.2.3$\vdots$6 (2)
-Từ (1) và (2) ⇒n³+3n²+2018n$\vdots$6