CMR :Với x,y nguyên thì x^2 -y^2 chia 4 dư 0;1;3

0 bình luận về “CMR :Với x,y nguyên thì x^2 -y^2 chia 4 dư 0;1;3”

1.  với `x^2=1;y^2=1`

   `⇒x^2-y^2=1-1=0:4 `dư `0`

    với `x^2=1;y^2=0`

   `⇒x^2-y^2=1-0=1:4 `dư `3`

    với `x^2=0;y^2=1`

   `⇒x^2-y^2=0-1=0:4 `dư `0`

   với `x;y≥1`hoặc `x;y≤1`

   `⇒x^2:4`dư `0;1`

   `⇒y^2:4`dư `0;1`

   `⇒x^2-y^2:4`dư` :(0-1;1)`

   hay dư` (0;3;1)`

   `⇒x^2 -y^2 : 4 `dư `0;1;3`với mọi `x;y` nguyên

   Bình luận

2. Ta chứng minh số chính phương $a^2$ bất kỳ chia $4$ dư $0$ hoặc $1$ `(a\in ZZ)`

   +) Nếu $a$ là số chẵn

   `=>a=2k\ (k\in ZZ)`

   `=>a^2=(2k)^2=4k^2\ \vdots \ 4`

   $\\$

   +) Nếu $a$ là số lẻ

   `=>a=2k+1\ (k\in ZZ)`

   `=>a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1` chia $4$ dư $1$

   $\\$

   `=>a^2` chia $4$ dư $0$ hoặc $1$ với mọi số nguyên `a` bất kỳ

   `=>x^2;y^2` chia $4$ dư $0$ hoặc $1$ với mọi số nguyên `x;y` bất kỳ 

   $\\$

   +) Nếu $x^2;y^2$ đều chia $4$ dư $0$ 

   `=>(x^2-y^2)\ \vdots\ 4`

   $\\$

   +) Nếu $x^2;y^2$ đều chia $4$ dư $1$

   `=>x=4m+1;y=4n+1\ (m;n\in ZZ)`

   `=>(x^2-y^2)=(4m+1)-(4n+1)`

   `=4(m-n)\ \vdots\ 4`

   $\\$

   +) Nếu $x^2$ chia $4$ dư $1$ và $y^2$ chia $4$ dư $0$

   `=>x^2=4m+1; y^2=4n\ (m;n\in ZZ)`

   `=>x^2-y^2=4m+1-4n=4(m-n)+1` chia $4$ dư $1$

   $\\$

   +) Nếu $x^2$ chia $4$ dư $0$ và $y^2$ chia $4$ dư $1$

   `=>x^2=4m;y^2=4n+1\ (m;n\in ZZ)`

   `=>x^2-y^2=4m-(4n+1)`

   `=4(m-n)-4+3` chia $4$ dư $3$

   $\\$

   Vậy `x^2-y^2` chia $4$ dư $0;1;3$ với mọi `x;y` nguyên 

   Bình luận