có 3 số lập thành một CSN. biết tổng 3 số bằng 12 và tổng các bình phương của chúng bằng 91. Tìm 3 số ấy ? 13/07/2021 Bởi Isabelle có 3 số lập thành một CSN. biết tổng 3 số bằng 12 và tổng các bình phương của chúng bằng 91. Tìm 3 số ấy ?
Giải thích các bước giải: 3 số đã cho lập thành một CSN nên 3 số đó lần lượt là \(a;\,\,aq;\,\,a{q^2}\) Theo giả thiết ta có hệ pt sau: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a + aq + a{q^2} = 12\\{a^2} + {a^2}{q^2} + {a^2}{q^4} = 91\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 12\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{a^2}\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right) = 91\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow a = \frac{{12}}{{1 + q + {q^2}}}\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {\frac{{12}}{{1 + q + {q^2}}}} \right)^2}\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right) = 91\\ \Leftrightarrow \frac{{144\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right)}}{{1 + {q^2} + {q^4} + 2q + 2{q^3} + 2{q^2}}} = 91\\ \Leftrightarrow 144{q^4} + 144{q^2} + 144 = 91\left( {{q^4} + 2{q^3} + 3{q^2} + 2q + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 53{q^4} – 182{q^3} – 129{q^2} – 182q + 53 = 0\\ \Leftrightarrow 53{q^2} – 182q – 129 – \frac{{182}}{q} + \frac{{53}}{{{q^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 53\left( {{q^2} + \frac{1}{{{q^2}}}} \right) – 182\left( {q + \frac{1}{q}} \right) – 129 = 0\\ \Leftrightarrow 53\left[ {{{\left( {q + \frac{1}{q}} \right)}^2} – 2} \right] – 182\left( {q + \frac{1}{q}} \right) – 129 = 0\\ \Leftrightarrow 53{\left( {q + \frac{1}{q}} \right)^2} – 182\left( {q + \frac{1}{q}} \right) – 235 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q + \frac{1}{q} = – 1\\q + \frac{1}{q} = \frac{{235}}{{53}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{q^2} + q + 1 = 0\,\,\,\left( {vn} \right)\\53{q^2} – 235q + 53 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow q = … \Rightarrow a = ….\end{array}\) Bình luận
Từ giả thiết ta có hệ phương trình : “$\begin{cases}u_1+u_2+u_3=12 \\u_1^2+u_2^2+u_3^2=91\end{cases}$ `⇔`$\begin{cases}u_1(1+q+q^2)=12 \\u_1^2(1+q^2+q^4)=91\end{cases}$ `⇔`$\begin{cases}u_1^2(1+q+q^2)^2=144 \\u_1^2(1+q^2+q^4)=91\end{cases}$ Lấy `(2)` chia cho `(1)` theo vế với vế ta được: `\frac{(1+q+q^2)^2}{1+q^2+q^4}=144/91` `⇔91(q^4+q^2+1+2q^3+2q^2+2q)=144(1+q^2+q^4)` `⇔53q^4-182q^3-129q^2-182q+53=0` `⇔53q^2-182q-129-182/q+53/q^2=0` $(q\neq0)$ `⇔53(q^2+1/q^2)-182(q+1/q)-129=0` Đặt `t=q+1/q⇒t^2=q^2+1/q^2+2⇒q^2+1/q^2=t^2-2` Khi đó ta có: `53(t^2-2)-182t-129=0` `⇔53t^2-182t-235=0` `⇔`\(\left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=\frac{235}{53}\end{array} \right.\) Với `t=-1⇒q+1/q=-1⇔q^2+q+1=0` $\text{(Vô nghiệm} )$ Với `t=235/53⇒q+1/q=235/53⇔q^2-235/53q+1=0⇔` \(\left[ \begin{array}{l}q=q_1≈4,2\\q=q_2≈0,23\end{array} \right.\) Bình luận
Giải thích các bước giải:
3 số đã cho lập thành một CSN nên 3 số đó lần lượt là \(a;\,\,aq;\,\,a{q^2}\)
Theo giả thiết ta có hệ pt sau:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a + aq + a{q^2} = 12\\
{a^2} + {a^2}{q^2} + {a^2}{q^4} = 91
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 12\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{a^2}\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right) = 91\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow a = \frac{{12}}{{1 + q + {q^2}}}\\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {\frac{{12}}{{1 + q + {q^2}}}} \right)^2}\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right) = 91\\
\Leftrightarrow \frac{{144\left( {1 + {q^2} + {q^4}} \right)}}{{1 + {q^2} + {q^4} + 2q + 2{q^3} + 2{q^2}}} = 91\\
\Leftrightarrow 144{q^4} + 144{q^2} + 144 = 91\left( {{q^4} + 2{q^3} + 3{q^2} + 2q + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 53{q^4} – 182{q^3} – 129{q^2} – 182q + 53 = 0\\
\Leftrightarrow 53{q^2} – 182q – 129 – \frac{{182}}{q} + \frac{{53}}{{{q^2}}} = 0\\
\Leftrightarrow 53\left( {{q^2} + \frac{1}{{{q^2}}}} \right) – 182\left( {q + \frac{1}{q}} \right) – 129 = 0\\
\Leftrightarrow 53\left[ {{{\left( {q + \frac{1}{q}} \right)}^2} – 2} \right] – 182\left( {q + \frac{1}{q}} \right) – 129 = 0\\
\Leftrightarrow 53{\left( {q + \frac{1}{q}} \right)^2} – 182\left( {q + \frac{1}{q}} \right) – 235 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
q + \frac{1}{q} = – 1\\
q + \frac{1}{q} = \frac{{235}}{{53}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{q^2} + q + 1 = 0\,\,\,\left( {vn} \right)\\
53{q^2} – 235q + 53 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow q = … \Rightarrow a = ….
\end{array}\)
Từ giả thiết ta có hệ phương trình :
“$\begin{cases}u_1+u_2+u_3=12 \\u_1^2+u_2^2+u_3^2=91\end{cases}$
`⇔`$\begin{cases}u_1(1+q+q^2)=12 \\u_1^2(1+q^2+q^4)=91\end{cases}$
`⇔`$\begin{cases}u_1^2(1+q+q^2)^2=144 \\u_1^2(1+q^2+q^4)=91\end{cases}$
Lấy `(2)` chia cho `(1)` theo vế với vế ta được: `\frac{(1+q+q^2)^2}{1+q^2+q^4}=144/91`
`⇔91(q^4+q^2+1+2q^3+2q^2+2q)=144(1+q^2+q^4)`
`⇔53q^4-182q^3-129q^2-182q+53=0`
`⇔53q^2-182q-129-182/q+53/q^2=0` $(q\neq0)$
`⇔53(q^2+1/q^2)-182(q+1/q)-129=0`
Đặt `t=q+1/q⇒t^2=q^2+1/q^2+2⇒q^2+1/q^2=t^2-2`
Khi đó ta có:
`53(t^2-2)-182t-129=0`
`⇔53t^2-182t-235=0`
`⇔`\(\left[ \begin{array}{l}t=-1\\t=\frac{235}{53}\end{array} \right.\)
Với `t=-1⇒q+1/q=-1⇔q^2+q+1=0` $\text{(Vô nghiệm} )$
Với `t=235/53⇒q+1/q=235/53⇔q^2-235/53q+1=0⇔` \(\left[ \begin{array}{l}q=q_1≈4,2\\q=q_2≈0,23\end{array} \right.\)