CÓ AI LÀM ĐƯỢC KO NHỈ ?
Cho `f(x)=x^2-(2m+1)x+m^2+1` (x là biến, m là tham số)
Tìm tất cả các giá trị `m\in Z` để phương trình `f(x)=0` có 2 nghiệm `x_1,\ x_2` `(x_1\ne x_2)` sao cho biểu thức `P=\frac{x_1x_2}{x_1+x_2}` có giá trị là số nguyên.
CÓ AI LÀM ĐƯỢC KO NHỈ ?
Cho `f(x)=x^2-(2m+1)x+m^2+1` (x là biến, m là tham số)
Tìm tất cả các giá trị `m\in Z` để phương trình `f(x)=0` có 2 nghiệm `x_1,\ x_2` `(x_1\ne x_2)` sao cho biểu thức `P=\frac{x_1x_2}{x_1+x_2}` có giá trị là số nguyên.
Đáp án:
m=2
Giải thích các bước giải:
Để phương trình có 2 nghiệm
\(\begin{array}{l}
\to 4{m^2} + 4m + 1 – 4{m^2} – 4 \ge 0\\
\to 4m – 3 \ge 0\\
\to m \ge \dfrac{3}{4}\\
P = \dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \dfrac{{{m^2} + 1}}{{2m + 1}}\\
\to 4P = \dfrac{{4{m^2} + 4}}{{2m + 1}}\\
= \dfrac{{4{m^2} + 4m + 1 + 3 – 4m}}{{2m + 1}}\\
= \dfrac{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} – 2\left( {2m + 1} \right) + 5}}{{2m + 1}}\\
= 2m + 1 – 2 + \dfrac{5}{{2m + 1}}\\
P \in Z \to \dfrac{5}{{2m + 1}} \in Z\\
\to 2m + 1 \in U\left( 5 \right)\\
\to \left[ \begin{array}{l}
2m + 1 = 5\\
2m + 1 = – 5\\
2m + 1 = 1\\
2m + 1 = – 1
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = – 3(loại)\\
m = 0(loại)\\
m = – 1(loại)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Để phương trình có 2 nghiệm thì
$Δ \geq 0⇔ (2m+1)^2-4(m^2+1) \geq 0 ⇔4m-3 \geq 0 ⇔ m \geq \frac{3}{4}$.
Theo định lý Viète ta có:
$\left \{ {{x_1+x_2=2m+1} \atop {x_1x_2=m^2+1}} \right.$
Từ đó ta có biểu thức $P=\frac{m^2+1}{2m+1}$ . Để $P$ có giá trị là số nguyên thì $m^2+1 ⋮ 2m+1⇔4m^2+4 ⋮ 2m+1⇔(2m+1)(2m-1)+5⋮ 2m+1$
Vì $(2m+1)(2m-1)$ chia hết cho $2m+1$ nên $2m+1$ ∈Ư{5}={±1;±5} ⇒$m=2$.
Do $m \geq \frac{3}{4}$
Vậy $m=2$ thỏa yêu cầu bài toán