Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để y = x^8 + ( m- 2) x^ 5- ( m^ 2 -4) x^4 + 1 đạt cực tiểu tại x= 0

Đáp án:

 4 giá trị 

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
y = {x^8} + (m – 2){x^5} – ({m^2} – 4){x^4} + 1\\
y’ = 8{x^7} + 5\left( {m – 2} \right){x^4} – 4\left( {{m^2} – 4} \right){x^3}\\
 = {x^3}\left( {8{x^4} + 5\left( {m – 2} \right)x – 4\left( {{m^2} – 4} \right)} \right)\\
 = {x^3}.g\left( x \right)
\end{array}\)

Do hàm số đạt cực tiểu tại x=0 nên ta xét 2 TH hàm g(x)=0 có nghiệm x=0 và hàm g(x)=0 không có nghiệm x=0

\(\begin{array}{l}
TH1:g\left( x \right) = 0 \to x = 0\\
 \to {8.0^4} + 5\left( {m – 2} \right).0 – 4\left( {{m^2} – 4} \right) = 0\\
 \to {m^2} – 4 = 0\\
 \to m =  \pm 2\\
Thay:m = 2\\
 \to y’ = 8{x^7} + 5.0{x^4} – 4.0{x^3} = 8{x^7}
\end{array}\)

⇒ x=0 là cực tiểu ⇒ m=2(TM)

\(\begin{array}{l}
Thay:m =  – 2\\
 \to y’ = 8{x^7} + 5.\left( { – 4} \right){x^4} – 4.0{x^3} = 8{x^7} – 20{x^4}\\
 = {x^4}\left( {8{x^3} – 20} \right)
\end{array}\)

⇒ x=0 không là cực tiểu

⇒ m=-2 (KTM)

TH2: g(x)=0 không có nghiệm x=0

Để y’ có cực tiểu tại x=0 tức là y’ đổi dấu từ âm sang dương tại điểm x=0

\(\begin{array}{l}
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y’ > 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y’ < 0
\end{array} \right.\\
 \to 4\left( {{m^2} – 4} \right) < 0\\
 \to  – 2 < m < 2\\
 \to m \in \left\{ { – 1;0;1} \right\}\\
KL:m \in \left\{ { – 1;0;1;2} \right\}
\end{array}\)