Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $(x^{2} – 3x + 4)(mx^{2} – 4(m + 1)x + 3m + 3)$ > 0 vô nghiệm ?

Đáp án:

 $-4\le m\le-1$

Giải thích các bước giải:

Ta thấy $x^2-3x+4=x^2-2.x.\dfrac32+\dfrac94-\dfrac94+4$

$=(x-\dfrac32)^2+\dfrac74>0$ $\forall x$

$\Rightarrow$ để $(x^2-3x+4)[mx^2-4(m+1)x+3m+3]>0$

vô nghiệm thì $mx^2-4(m+1)x+3m+3\le0$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m<0\\4(m+1)^2-m(3m+3)\le0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m<0\\m^2+5m+4\le0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m<0\\-4\le m\le-1\end{cases}\Leftrightarrow -4\le m\le-1$.