Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn : | z + 1- 3i | = 3√2 với ( z + 2i ) ² là số thuần ảo 23/07/2021 Bởi Claire Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn : | z + 1- 3i | = 3√2 với ( z + 2i ) ² là số thuần ảo
Đáp án: $3$ Giải thích các bước giải: Đặt $z = a + bi\quad (a,\ b\in\Bbb R)$ Ta có: $+)\quad |z + 1 – 3i| = 3\sqrt2$ $\to |a + 1 + (b-3)i| = 3\sqrt2$ $\to \sqrt{(a+1)^2 + (b-3)^2} = 3\sqrt2$ $\to (a+1)^2 + (b-3)^2 = 18$ $+)\quad (z + 2i)^2$ $= [a + (b+2)i]^2$ $= a^2 – (b+2)^2 + 2a(b+2)i$ $(z+2i)^2$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \begin{cases}a^2 – (b+2)^2 = 0\\a\ne 0\\b\ne – 2\end{cases}$ Ta được hệ phương trình: $\quad \begin{cases}(a+1)^2 +(b-3)^2 = 18\\a^2 – (b+2)^2 = 0\end{cases}$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}a = 2\\b = 0\end{cases}\\\begin{cases}a = – 3 – \sqrt5\\b = 1+\sqrt5\end{cases}\\\begin{cases}a = \sqrt5 – 3\\b = 1 -\sqrt5\end{cases}\end{array}\right.$ Vậy $z = 2;\ z = – 3 – \sqrt5 + (1+\sqrt5)i$ hoặc $z = \sqrt5 – 3 + (1-\sqrt5)i$ Bình luận
Đáp án:
$3$
Giải thích các bước giải:
Đặt $z = a + bi\quad (a,\ b\in\Bbb R)$
Ta có:
$+)\quad |z + 1 – 3i| = 3\sqrt2$
$\to |a + 1 + (b-3)i| = 3\sqrt2$
$\to \sqrt{(a+1)^2 + (b-3)^2} = 3\sqrt2$
$\to (a+1)^2 + (b-3)^2 = 18$
$+)\quad (z + 2i)^2$
$= [a + (b+2)i]^2$
$= a^2 – (b+2)^2 + 2a(b+2)i$
$(z+2i)^2$ là số thuần ảo
$\Leftrightarrow \begin{cases}a^2 – (b+2)^2 = 0\\a\ne 0\\b\ne – 2\end{cases}$
Ta được hệ phương trình:
$\quad \begin{cases}(a+1)^2 +(b-3)^2 = 18\\a^2 – (b+2)^2 = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}a = 2\\b = 0\end{cases}\\\begin{cases}a = – 3 – \sqrt5\\b = 1+\sqrt5\end{cases}\\\begin{cases}a = \sqrt5 – 3\\b = 1 -\sqrt5\end{cases}\end{array}\right.$
Vậy $z = 2;\ z = – 3 – \sqrt5 + (1+\sqrt5)i$ hoặc $z = \sqrt5 – 3 + (1-\sqrt5)i$