Có bao nhiêu số tự nhiên nằm trong khoảng từ 1 đến 2019 ( tính cả số 1 và 2019 ) thỏa mãn: 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n chia hết cho 5
Giúp mình với nha Ngày mai mình phải nộp rồi huhu
Có bao nhiêu số tự nhiên nằm trong khoảng từ 1 đến 2019 ( tính cả số 1 và 2019 ) thỏa mãn: 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n chia hết cho 5
Giúp mình với nha Ngày mai mình phải nộp rồi huhu
Đáp án:
1515 số
Giải thích các bước giải:
+) Với n=4k+3 hoặc n=4k+1 => $1^n+2^n+3^n+4^n$ lẻ. k ∈ |N.
$1^n+2^n+3^n+4^n \equiv 1^n+2^n+(-2)^n+(-1)^n$ (mod 5)
hay $1^n+2^n+3^n+4^n \equiv 1^n+2^n-2^n-1^n=0$ (mod 5)
=> $1^n+2^n+3^n+4^n$ chia hết cho 5.
=> $1^n+2^n+3^n+4^n+5^n$ chia hết cho 5
+) Với n=4k+2, k ∈ |N.
$1+2^{4k+2}+3^{4k+2}+4^{4k+2}=1+2^2.2^{4k}+3^2.3^{4k}+4^2.4^{4k}$
$ =1+4.16^k+9.81^k+16.256^k \equiv 1.1+4.1+9.1+16.1=30 $(mod 5)
$=> 1^n+2^n+3^n+4^n$ chia hết cho 5.
$=> 1^n+2^n+3^n+4^n+5^n$ chia hết cho 5
+) Với n=4k, k ∈ |N.
$1^n+2^n+3^n+4^n = 1+2^{4k}+3^{4k}+4^{4k} $
$= 1+16^k+81^k+16^k \equiv 1+1+1+1=4 $(mod 5)
$=> 1^n+2^n+3^n+4^n$ không chia hết cho 5.
=> để thỏa mãn đề thì n không chia hết cho 4
mà từ 1 đến 2019 có 504 số chia hết cho 4 => có 1515 số không chia hết cho 4
=> có 1515 số thỏa mãn đề