co$s^{6}$x +si$n^{6}$x. Tìm giá trị nhỏ nhất. Giải thích cho mình với ạ

Đáp án:

\[{\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)_{\min }} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
P = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}} \right)^3}\\
 = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right).\left( {{{\sin }^4}x – {{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right)\\
 = {\sin ^4}x – {\sin ^2}x.{\cos ^2}x + {\cos ^4}x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x = 1} \right)\\
 = {\sin ^4}x – {\sin ^2}x.\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right) + {\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right)^2}\\
 = {\sin ^4}x – {\sin ^2}x + {\sin ^4}x + 1 – 2{\sin ^2}x + {\sin ^4}x\\
 = 3{\sin ^4}x – 3{\sin ^2}x + 1\\
 = 3.\left( {{{\sin }^4}x – {{\sin }^2}x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{4}\\
 = 3{\left( {{{\sin }^2}x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4},\,\,\,\,\forall x\\
 \Rightarrow {P_{\min }} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \frac{1}{2} \Rightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\)

Vậy \({\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)_{\min }} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)