cos2x – (2m – 3)cosx + m – 1 = 0
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( pi/2; 3pi/2)
cos2x – (2m – 3)cosx + m – 1 = 0
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( pi/2; 3pi/2)
Đáp án: \(m \in \left[ {1;2}\right) \)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l} \cos 2x – (2m – 3)\cos x+ m – 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x – 1 – (2m – 3)\cos x + m – 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x – (2m – 3)\cos x + m – 2 = 0(*)\\\text{Đặt: }\cos x = t,x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow t \in \left[ { – 1;0} \right)\\ (*) \Rightarrow 2{t^2} – \left( {2m – 3} \right)t + m – 2 = 0\\2t^2-t-(2m-3)t+t+m-2=0\\(2t^2-t)-(2mt-3t-t-m+2)=0\\ \Leftrightarrow (2{t^2} – t) – \left[ {\left( {2m – 4} \right)t – \left( {m – 2} \right)} \right] = 0\\\Leftrightarrow t(2t – 1) – \left( {m – 2} \right)\left( {2t – 1} \right)=0\\ \Leftrightarrow (2t – 1)[t – \left( {m – 2)} \right]= 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \dfrac{1}{2} \notin \left[ { – 1;0} \right)\\ t = m – 2 \Rightarrow m – 2 \in \left[ { – 1;0} \right) \Leftrightarrow m \in \left[ {1;2} \right) \end{array} \right. \end{array}\)
.