Cos2x +sinx +2m+1=0 có 3 nghiệm thuộc (-π/6;π/2)

0 bình luận về “Cos2x +sinx +2m+1=0 có 3 nghiệm thuộc (-π/6;π/2)”

1. Đáp án:

   $-\dfrac{17}{16} < m < -\dfrac{1}{2}$

   Giải thích các bước giải:

   $\cos2x + \sin x + 2m +1 = 0$

   $\Leftrightarrow 1 – 2\sin^2x + \sin x + 2m + 1= 0$

   $\Leftrightarrow 2\sin^2x -\sin x – 2m – 2 = 0$

   Đặt $t = \sin x, \, |t| \leq 1$

   Với $x \in \left[-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2}\right]$

   $\Rightarrow \sin x \in \left[-\dfrac{1}{2};1\right]$

   $\Rightarrow t \in \left[-\dfrac{1}{2};1\right]$

   Phương trình trở thành:
   $2t^2 – t – 2m – 2 = 0$ $(*)$

   Phương trình có 3 nghiệm thuộc $\left[-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2}\right]$

   $\Leftrightarrow (*)$ có 3 nghiệm thuộc $\left[-\dfrac{1}{2};1\right]$

   $(*) \Leftrightarrow 2t^2 – t = 2m + 2$

   Xét $f(t) = 2t^2 – t, \,t \in \left[-\dfrac{1}{2};1\right]$

   $\Rightarrow f'(t) = 4t – 1$

   $f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{4}$

   Xét bảng biến thiên của $f(t)$ trong đoạn $\left[-\dfrac{1}{2};1\right]$

   $\begin{array}{|l|cr|}
   \hline
   t & -\infty  & -\dfrac{1}{2} & && & \dfrac{1}{4} & && & 1  & +\infty\\
   \hline
   f'(t) & &   |& &- & & 0 & &+ & &|  &\\
   \hline
   &&1&&&&&&&&1\\
   f(t) & &&&\searrow& & & &\nearrow\\
   &&&&&&-\dfrac{1}{8}\\
   \hline
   \end{array}$

   Ta được:

   Hàm số có 3 nghiệm phân biệt

   $\Leftrightarrow f(t)$ và đường thẳng $2m + 2$ có 3 điểm chung

   Do đó $- \dfrac{1}{8} < 2m + 2 < 1$

   $\Leftrightarrow -\dfrac{17}{16} < m < -\dfrac{1}{2}$

   Bình luận