(d): y=(2m+1)-m²-m+6 (P):y=x² tìm m để (d) cắt (p) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}$;$x_{2}$ thỏa mãn |$x_{1}$² -$x_{2}$² |=50

Đáp án:

$m\in\left\{-\dfrac{11}{2};\dfrac92\right\}$

Giải thích các bước giải:

Phương trình hoành độ giao điểm giữa $(d)$ và $(P):$

$\quad x^2 = (2m+1)x – m^2 – m + 6$

$\Leftrightarrow x^2 – (2m+1)x + m^2 + m – 6= 0\qquad (*)$

$(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt

$\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta_{(*)}> 0$

$\Leftrightarrow (2m+1)^2 – 4(m^2 + m – 6)> 0$

$\Leftrightarrow 25 > 0$ (luôn đúng)

Do đó hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Với $x_1,\ x_2$ là hai hoành độ giao điểm

$\Rightarrow x_1,\ x_2$ là hai nghiệm phân biệt của $(*)$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2m+1\\x_1x_2 = m^2 + m – 6\end{cases}$

Ta có:

$\quad |x_1^2 – x_2^2|= 50$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2(x_1+x_2)^2 = 2500$

$\Leftrightarrow [(x_1+x_2)^2 – 4x_1x_2](x_1+x_2)^2 = 2500$

$\Leftrightarrow [(2m+1)^2 – 4(m^2 + m – 6)](2m+1)^2 = 2500$

$\Leftrightarrow (2m+1)^2 = 100$

$\Leftrightarrow |2m+1| = 10$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = \dfrac92\\m = – \dfrac{11}{2}\end{array}\right.$

Vậy $m\in\left\{-\dfrac{11}{2};\dfrac92\right\}$