Đa thức f(x) chia cho x+1 dư 5 chia x²+1 dư x+2. Tìm số dư trong phép chia f(x) với x³+x²+x+1

0 bình luận về “Đa thức f(x) chia cho x+1 dư 5 chia x²+1 dư x+2. Tìm số dư trong phép chia f(x) với x³+x²+x+1”

1. Lời giải:

    Gọi `h(x)` `;` `r(x)` lần lượt là thương và dư của phép chia `f(x)` cho 

   `g(x)=` $x^{3}$ `+` $x^{2}$ `+x+1`

   Vì bậc của đa thức dư `r(x)` luôn nhỏ hơn bậc của đa thức chia `g(x)`

   `=>` `r(x)` có dạng $ax^{2}$ `+bx+c`

   Ta có : `(`$x^{2}$ `+1)(x+1)`

   `=` $x^{3}$ `+` $x^{2}$ `+x+1`

   Theo bài ra ta có:

   `f(x)` `=` $x^{3}$ `+` $x^{2}$ `+x+1“h(x)` `+` $ax^{2}$ `+bx+c`

   `f(x)` `=` `(`$x^{2}$ `+1)(x+1)“h(x)` `+` $ax^{2}$ `+a+bx+c-a`

   `f(x)` `=` `(`$x^{2}$ `+1)(x+1)“h(x)`  `+` `a(`$x^{2}$`+1)` `+bx+c-a`

   Do `f(x)` chia $x^{2}$ `+1` dư `x+2`

   `=>` `bx+c-a` `=` `x+2`

   `->` `bx = x` (đồng nhất hệ số)

   `->` `c-a = 2` 

   `⇔` `b=1`

   `⇔` `c=a+2`

   Theo định lý Bơ-zu ta có:

   Do `f(x)` chia `x+1` dư `5` suy ra `f(-1)` `=` `5`

   Thay vào ta có:

   `f(-1)` `=` `0` `+a-b+c` `=` `5`

   `⇔` `a-1+c` `=5`

   `⇔` `a+2+a` `=6`

   `⇔` `2a=4`

   `->` `a=2`

   Thay vào tiếp ta có `c=4`

   Suy ra $ax^{2}$ `+bx+c` `=` $2x^{2}$ `+x+4`

   Vậy phép chia đa thức `f(x)` cho $x^{3}$ `+` $x^{2}$ `+x+1` dư $2x^{2}$ `+x+4`

   Bình luận

2. Ta có: f(x) chia cho x + 1 dư 5 nên f(-1) = 5

   Do bậc của đa thức chia là 3 nên đa thức dư có dạng ax²+bx+c

   Theo định nghĩa phép chia của đa thức, ta có: 

   f(x) = (x³ + x² + x +  1) Q(x) + ax²+ bx + c = (x+1) (x²+1) Q(x) + a(x²+1) + bx + c -a = (x²+1) [ (x+1)Q(x)+a ] + bx + c – a

   Mà f(x) chia x²+1 dư x+2

   Nên ta có: b = 1, c – a = 2 và a – b + c = 5 

   ⇒ a = 2, b = 1, c = 4

   ⇒ Dư trong phép chia f(x) với x³+ x² + x +1 là: 2x² + x + 4  

      

   Bình luận