đề bài: tìm GTNN và GTLN
câu 1: Q = x^2 – 2x + 5
câu 2: M = -x^2 + 6x + 1
câu 3: N = 2x^2 – 2x
câu 4: E = 3x – 4x^2
đề bài: tìm GTNN và GTLN
câu 1: Q = x^2 – 2x + 5
câu 2: M = -x^2 + 6x + 1
câu 3: N = 2x^2 – 2x
câu 4: E = 3x – 4x^2
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
1,\\
Q = {x^2} – 2x + 5 = \left( {{x^2} – 2x + 1} \right) + 4 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 4\\
{\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall x \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + 4 \ge 4,\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow Q \ge 4,\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow {Q_{\min }} = 4 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\\
2,\\
M = – {x^2} + 6x + 1 = – \left( {{x^2} – 6x + 9} \right) + 10 = 10 – {\left( {x – 3} \right)^2}\\
{\left( {x – 3} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall x \Rightarrow 10 – {\left( {x – 3} \right)^2} \le 10,\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow M \le 10,\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow {M_{\max }} = 10 \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3\\
3,\\
N = 2{x^2} – 2x = 2.\left( {{x^2} – x + \dfrac{1}{4}} \right) – \dfrac{1}{2}\\
= 2.\left( {{x^2} – 2.x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} \right) – \dfrac{1}{2} = 2.{\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)^2} – \dfrac{1}{2}\\
{\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall x \Rightarrow 2.{\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)^2} – \dfrac{1}{2} \ge – \dfrac{1}{2},\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow N \ge – \dfrac{1}{2},\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow {N_{\min }} = – \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\\
4,\\
E = 3x – 4{x^2} = – \left( {4{x^2} – 3x + \dfrac{9}{{16}}} \right) + \dfrac{9}{{16}}\\
= \dfrac{9}{{16}} – \left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} – 2.2x.\dfrac{3}{4} + {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^2}} \right] = \dfrac{9}{{16}} – {\left( {2x – \dfrac{3}{4}} \right)^2}\\
{\left( {2x – \dfrac{3}{4}} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x \Rightarrow \dfrac{9}{{16}} – {\left( {2x – \dfrac{3}{4}} \right)^2} \le \dfrac{9}{{16}},\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow E \le \dfrac{9}{{16}},\,\,\,\forall x\\
\Rightarrow {E_{\max }} = \dfrac{9}{{16}} \Leftrightarrow {\left( {2x – \dfrac{3}{4}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{8}
\end{array}\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Câu 1 : Q = x^2 – 2x + 5 = (x^2 – 2.x.1 + 1^2) + 4
= (x – 1)^2 + 4
Vì (x – 1)^2 >= 0 với mọi x
=> (x – 1)^2 + 4 >= 4 với mọi x
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)^2 = 0 => x = 1
Vậy Qmin = 4 khi x = 1
Câu 2 : M = -x^2 + 6x + 1 = -(x^2 – 6x – 1)
= -(x^2 – 2.x.3 + 3^2) – 8
= -(x – 3)^2 – 8
Vì (x – 3)^2 >= 0 với mọi x
=> -(x – 3)^2 – 8 <= -8 với mọi x
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x – 3 = 0 => x = 3
Vậy Mmax = -8 khi x = 3
Câu 3 : N = 2x^2 – 2x = 2(x^2 – x)
= 2[x^2 – 2.x.1/2 + (1/2)^2] – 1/2
= 2(x – 1/2)^2 – 1/2
Vì (x – 1/2)^2 >= 0 với mọi x
=> 2(x – 1/2)^2 – 1/2 >= – 1/2 với mọi x
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1/2)^2 = 0 => x = 1/2
Vậy Emin = -1/2 khi x = 1/2
Câu 4 : E = 3x – 4x^2
= -(4x^2 – 3x)
= -4(x^2 + 3/4x)
= -4[x^2 + 2.x.3/8 + (3/8)^2] + 9/16
= -4(x + 3/8)^2 +9/16
Vì (x + 3/8)^2 >= 0 với mọi x
=> -4(x + 3/8)^2 + 9/16 <= 9/16 với mọi x
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi (x + 3/8)^2 = 0 => x = -3/8
Vậy Emax = 9/16 khi x = -3/8