Để bpt $\sqrt{(x+5).(3-x)}\leq x^2+2x+a$ có nghiệm đúng $\forall x\in \Big[-5;3 \Big]$ , tham số a phải thỏa mãn đk?

0 bình luận về “Để bpt $\sqrt{(x+5).(3-x)}\leq x^2+2x+a$ có nghiệm đúng $\forall x\in \Big[-5;3 \Big]$ , tham số a phải thỏa mãn đk?”

1. $\sqrt{(x+5)(3-x)}=\sqrt{-x^2-2x+15}=t(t\ge 0)(1)$.

   Ta có $t^2=-x^2-2x+15=-(x+1)^2+16\Rightarrow t\le 4$ (do $t \ge 0$).

   Dấu bằng xảy ra khi $x=-1\in[-5;3]$ nên
   $\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} – 5;3{\rm{]}}} \;t = 4$
    Bất phương trình trở thành:

   $\sqrt{(x+5).(3-x)} -x^2-2x-a \le 0\Leftrightarrow  t^2-15+t-a \le 0(2)$

   $\Leftrightarrow a \ge t^2+t-15$

   Bất phương trình (1) có nghiệm đúng $\forall x \in [-5;3]\Leftrightarrow$ Bất phương trình (2) có nghiệm đúng $\forall t \in[0;4]$

   Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow a\ge t^2+t-15 \forall t\in[0;4]$

   $\Leftrightarrow a \ge \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} 0;5{\rm{]}}} \;t^2+t-15=5$

   Vậy $a\ge 5$ thì bất phương trình có nghiệm đúng $\forall x\in[-5;3]$

   Bình luận