Định m để phương trình:(m+1)x^2-2(m+2)x+m-1=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 sao cho 1/x1+1/x2>2

Đáp án:

\[m > 1\]

Giải thích các bước giải:

 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta ‘ > 0\\
{x_1}.{x_2} \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 1 \ne 0\\
{\left( {m + 2} \right)^2} – \left( {m + 1} \right).\left( {m – 1} \right) > 0\\
\frac{{m – 1}}{{m + 1}} \ne 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  \pm 1\\
{m^2} + 4m + 4 – {m^2} + 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  \pm 1\\
m > \frac{{ – 5}}{4}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array}\)

Với ĐK (*), phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khác 0 thỏa mãn: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 2} \right)}}{{m + 1}}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m – 1}}{{m + 1}}
\end{array} \right.\)

Theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} > 2\\
 \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} > 2\\
 \Leftrightarrow \frac{{\frac{{2\left( {m + 2} \right)}}{{m + 1}}}}{{\frac{{m – 1}}{{m + 1}}}} > 2\\
 \Leftrightarrow \frac{{2\left( {m + 2} \right)}}{{m – 1}} > 2\\
 \Leftrightarrow \frac{{2m + 4}}{{m – 1}} – 2 > 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{2m + 4 – 2m + 2}}{{m – 1}} > 0\\
 \Leftrightarrow \frac{6}{{m – 1}} > 0\\
 \Leftrightarrow m > 1
\end{array}\)

Kết hợp các điều kiện ta được \(m > 1\)

Vậy \(m > 1\)