Định m để phương trình:(m+1)x^2-2(m+2)x+m-1=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 sao cho 1/x1+1/x2>2

0 bình luận về “Định m để phương trình:(m+1)x^2-2(m+2)x+m-1=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 sao cho 1/x1+1/x2>2”

1. Đáp án:

   \[m > 1\]

   Giải thích các bước giải:

    Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi:

   \(\begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   a \ne 0\\
   \Delta ‘ > 0\\
   {x_1}.{x_2} \ne 0
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   m + 1 \ne 0\\
   {\left( {m + 2} \right)^2} – \left( {m + 1} \right).\left( {m – 1} \right) > 0\\
   \frac{{m – 1}}{{m + 1}} \ne 0
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   m \ne  \pm 1\\
   {m^2} + 4m + 4 – {m^2} + 1 > 0
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   m \ne  \pm 1\\
   m > \frac{{ – 5}}{4}
   \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
   \end{array}\)

   Với ĐK (*), phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khác 0 thỏa mãn: 

   \(\left\{ \begin{array}{l}
   {x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 2} \right)}}{{m + 1}}\\
   {x_1}.{x_2} = \frac{{m – 1}}{{m + 1}}
   \end{array} \right.\)

   Theo giả thiết ta có:

   \(\begin{array}{l}
   \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} > 2\\
    \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} > 2\\
    \Leftrightarrow \frac{{\frac{{2\left( {m + 2} \right)}}{{m + 1}}}}{{\frac{{m – 1}}{{m + 1}}}} > 2\\
    \Leftrightarrow \frac{{2\left( {m + 2} \right)}}{{m – 1}} > 2\\
    \Leftrightarrow \frac{{2m + 4}}{{m – 1}} – 2 > 0\\
    \Leftrightarrow \frac{{2m + 4 – 2m + 2}}{{m – 1}} > 0\\
    \Leftrightarrow \frac{6}{{m – 1}} > 0\\
    \Leftrightarrow m > 1
   \end{array}\)

   Kết hợp các điều kiện ta được \(m > 1\)

   Vậy \(m > 1\)

   Bình luận