em thưa thầy thầy giải giúp em bài này với ạ. cho x,y là hai số thực thỏa mãn x+y lớn hơn hoặc bằng 2. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3(x^4+y^4+x^2*y^2)-2(x^2+y^2)+1
em thưa thầy thầy giải giúp em bài này với ạ. cho x,y là hai số thực thỏa mãn x+y lớn hơn hoặc bằng 2. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3(x^4+y^4+x^2*y^2)-2(x^2+y^2)+1
Đáp án:
Ta thấy
`P=3[3/4(x^2+y^2)^2+1/4(x^2-y^2)^2]-2(x^2+y^2)+1ge9/4(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1`
Đặt `t=x^2+y^2ge1/2(x+y)^2ge2.` Suy ra `Pge9/4t^2-2t+1`
Xét hàm số `f(t)=9/4t-2t_1` với `tge2`
Lập bảng biến thiên của `f(t)` với `tge2`
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của `P` là `6` khi `t=2` hay `x=y=1`
Đáp án:
$P\ge 6$
Giải thích các bước giải:
$\text{Ta có: }x^2+y^2\ge\dfrac{(x+y)^2}{2}=2(1)$
$P=3(x^4+y^4+x^2.y^2)-2(x^2+y^2)+1$
$\rightarrow P=3((x^2+y^2)^2-x^2.y^2)-2(x^2+y^2)+1$
$\rightarrow P\ge 3((x^2+y^2)^2-\dfrac{(x^2+y^2)^2}{4})-2(x^2+y^2)+1(2)$
$\rightarrow P\ge \dfrac{9}{4}.(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)+1$
$\rightarrow P\ge \dfrac{9}{4}.((x^2+y^2)-\dfrac{4}{9})^2+\dfrac{5}{9}\ge\dfrac{9}{4}.(2-\dfrac{4}{9})^2+ \dfrac{5}{9}$
$\rightarrow P\ge 6$
$\text{Dấu = xảy ra khi x=y=1 }$