Xét 2 số phức z1,z2 thoả mản |z1|=|z2|=1 và |z1+z2|=√3 . Giá trị lớn nhất của |3z1+2z2-4+3i|bằng

0 bình luận về “Xét 2 số phức z1,z2 thoả mản |z1|=|z2|=1 và |z1+z2|=√3 . Giá trị lớn nhất của |3z1+2z2-4+3i|bằng”

1. Đáp án:

   $\max P = 5 + \sqrt{19}$

   Giải thích các bước giải:

   Gọi $A, B, C$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $z_1;\ -z_2;\ z_1 + z_2$

   Ta có:

   $|z_1| = 1 \Rightarrow OA = 1$

   $|z_2| = 1 \Rightarrow |-z_2| = 1 \Rightarrow OB = 1$

   $|z_1 + z_2| = \sqrt3 \Rightarrow |z_1 – (-z_2)| = \sqrt3 \Rightarrow AB = \sqrt3$

   Áp dụng định lý $\cos$ ta được:

   $\quad AB^2 = OA^2 + OB^2 – 2OA.OB.\cos\widehat{AOB}$

   $\Rightarrow \cos\widehat{AOB} = \dfrac{OA^2 + OB^2 – AB^2}{2OA.OB}$

   $\Rightarrow \cos\widehat{AOB} = \dfrac{1^2 + 1^2 – \left(\sqrt3\right)^2}{2.1.1} = – \dfrac12$

   $\Rightarrow \widehat{AOB} = 120^\circ$

   Gọi $M,\ N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $3z_1$ và $-2z_2$

   $\Rightarrow \begin{cases}|3z_1| = 3 \Leftrightarrow OM = 3\\|-2z_2| = 2 \Leftrightarrow ON = 2\end{cases}$ 

   $\Rightarrow |3z_1 + 2z_2| = |3z_1 – (-2z_2)| = MN$

   $\Rightarrow MN = \sqrt{OM^2 + ON^2 – 2OM.OM.\cos\widehat{MON}} = \sqrt{3^2 + 2^2 – 2.3.2.\cos120^\circ} = \sqrt{19}$

   Áp dụng bất đẳng thức môđun số phức, ta có:

   $\quad |3z_1 + 2z_2 – 4 + 3i| \leqslant |3z_1 + 2z_2| + |-4 + 3i|$

   $\Leftrightarrow P \leqslant \sqrt{19} + 5$

   Vậy $\max P = 5 + \sqrt{19}$

   Bình luận