Xét các số thực dương x;y;z thỏa mãn x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)<=3 Tìm GTLN;GTNN của biểu thức P=x+y+z HD: Áp dụng BĐT sau (x+y+z)^2<=3(x^2+y^2+z^2)
Xét các số thực dương x;y;z thỏa mãn x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)<=3 Tìm GTLN;GTNN của biểu thức P=x+y+z HD: Áp dụng BĐT sau (x+y+z)^2<=3(x^2+y^2+z^2)
Đáp án:
$\frac{3-3\sqrt{5}}{2} ≤x+y+z≤\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$
Giải thích các bước giải:
$x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) ≤ 3 ⇔x+y+z≥x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 (1)$
Ta có: $x^{2}+y^{2}+z^{2}≥\frac{1}{3}(x+y+z)^{2}$
$⇔ x^{2}+y^{2}+z^{2}-3≥\frac{1}{3}.(x+y+z)^{2}-3 (2)$
Từ $(1),(2)⇒x+y+z≥\frac{1}{3}(x+y+z)^{2}-3$
$⇔ \frac{3-3\sqrt{5}}{2} ≤x+y+z≤\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$