Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số f(x)=x+1/x/-1 trên (1;+∞)

Đáp án:

$f(x)$ nghịch biến trên $(1;+\infty)$

Giải thích các bước giải:

$f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$

$TXĐ: D = \Bbb R \backslash\left\{1\right\}$

Chọn $x_1,\,x_2 \in (1;+\infty),\, x_1 \ne x_2$

Xét $\dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1}$

$= \dfrac{\dfrac{x_2+1}{x_2-1} – \dfrac{x_1+1}{x_1-1}}{x_2 – x_1}$

$ = \dfrac{(x_2 + 1)(x_1 – 1) – (x_1 + 1)(x_2 – 1)}{(x_2 – 1)(x_1 – 1)(x_2 – x_1)}$

$ = \dfrac{2(x_1 – x_2)}{(x_2 – 1)(x_1 – 1)(x_2 – x_1)}$

$= \dfrac{-2}{(x_2 – 1)(x_1 – 1)}$

Do $x_1,\; x_2 \in (1;+\infty)$

nên $\begin{cases}x_1 – 1 > 0\\x_2 – 1 > 0\end{cases} \Rightarrow (x_2 – 1)(x_1 – 1) > 0$

$\Rightarrow \dfrac{-2}{(x_2 – 1)(x_1 – 1)} < 0$

Hay $\dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} < 0$

Vậy $f(x)$ nghịch biến trên $(1;+\infty)$