xét tính tăng giảm của dãy số un=3n^2-2n+1/n+1 18/07/2021 Bởi Katherine xét tính tăng giảm của dãy số un=3n^2-2n+1/n+1
Đáp án: Dãy $u_n$ là dãy tăng Giải thích các bước giải: Ta có: \(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} – {u_n} = \dfrac{{3{{\left( {n + 1} \right)}^2} – 2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} – \dfrac{{3{n^2} – 2n + 1}}{{n + 1}}\\ = \dfrac{{3\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) – 2n – 2 + 1}}{{n + 2}} – \dfrac{{3{n^2} – 2n + 1}}{{n + 1}}\\ = \dfrac{{3{n^2} + 4n + 2}}{{n + 2}} – \dfrac{{3{n^2} – 2n + 1}}{{n + 1}}\\ = \dfrac{{3\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) – 8\left( {n + 2} \right) + 6}}{{n + 2}} – \dfrac{{3\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) – 8\left( {n + 1} \right) + 6}}{{n + 1}}\\ = 3\left( {n + 2} \right) – 8 + \dfrac{6}{{n + 2}} – 3\left( {n + 1} \right) + 8 – \dfrac{6}{{n + 1}}\\ = 3 + \dfrac{6}{{n + 2}} – \dfrac{6}{{n + 1}}\\ = \dfrac{{3\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 6\left( {n + 1} \right) – 6\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{3{n^2} + 9n + 6 – 6}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{3{n^2} + 9n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0,\,\,\,\forall n \in {N^*}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\end{array}\) Vậy dãy $u_n$ là dãy tăng. Bình luận
Đáp án:
Dãy $u_n$ là dãy tăng
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} – {u_n} = \dfrac{{3{{\left( {n + 1} \right)}^2} – 2\left( {n + 1} \right) + 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} – \dfrac{{3{n^2} – 2n + 1}}{{n + 1}}\\
= \dfrac{{3\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) – 2n – 2 + 1}}{{n + 2}} – \dfrac{{3{n^2} – 2n + 1}}{{n + 1}}\\
= \dfrac{{3{n^2} + 4n + 2}}{{n + 2}} – \dfrac{{3{n^2} – 2n + 1}}{{n + 1}}\\
= \dfrac{{3\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) – 8\left( {n + 2} \right) + 6}}{{n + 2}} – \dfrac{{3\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) – 8\left( {n + 1} \right) + 6}}{{n + 1}}\\
= 3\left( {n + 2} \right) – 8 + \dfrac{6}{{n + 2}} – 3\left( {n + 1} \right) + 8 – \dfrac{6}{{n + 1}}\\
= 3 + \dfrac{6}{{n + 2}} – \dfrac{6}{{n + 1}}\\
= \dfrac{{3\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 6\left( {n + 1} \right) – 6\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\
= \dfrac{{3{n^2} + 9n + 6 – 6}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{3{n^2} + 9n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0,\,\,\,\forall n \in {N^*}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}
\end{array}\)
Vậy dãy $u_n$ là dãy tăng.