Giả sử hai số x và y thỏa mãn: 2x + y = 6. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức A= $4x^{2}$ +$y^{2}$

0 bình luận về “Giả sử hai số x và y thỏa mãn: 2x + y = 6. Tìm giá trị bé nhất của biểu thức A= $4x^{2}$ +$y^{2}$”

1. Đáp án:

    $4x^2+y^2\ge 18$

   Giải thích các bước giải:

    Ta có :

   $(2x-y)^2\ge 0\quad\forall x,y$

   $\rightarrow 4x^2-4xy+y^2 \ge 0$

   $\rightarrow 4x^2+y^2\ge 4xy$

   $\rightarrow 2(4x^2+y^2)\ge 4x^2+4xy+y^2$

   $\rightarrow 2(4x^2+y^2)\ge (2x+y)^2=6^2=36$

   $\rightarrow 4x^2+y^2\ge 18$

   Bình luận

2. Đáp án:

   \({\mathop{\rm minA}\nolimits}  = 18 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
     x = {3 \over 2} \hfill \cr 
     y = 3 \hfill \cr}  \right.\)

   Giải thích các bước giải:

   \(\eqalign{
     & 2x + y = 6 \Leftrightarrow y = 6 – 2x  \cr 
     & A = 4{x^2} + {y^2}  \cr 
     & A = 4{x^2} + {\left( {6 – 2x} \right)^2}  \cr 
     & A = 4{x^2} + 36 – 24x + 4{x^2}  \cr 
     & A = 8{x^2} – 24x + 36  \cr 
     & A = 8\left( {{x^2} – 3x} \right) + 36  \cr 
     & A = 8\left( {{x^2} – 2.x.{3 \over 2} + {9 \over 4}} \right) – 18 + 36  \cr 
     & A = 8{\left( {x – {3 \over 2}} \right)^2} + 18  \cr 
     &  \Rightarrow A \ge 18  \cr 
     &  \Rightarrow {\mathop{\rm minA}\nolimits}  = 18 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
     x = {3 \over 2} \hfill \cr 
     y = 3 \hfill \cr}  \right. \cr} \)

   Bình luận