Giả sử phương trình 2x $x^{2}$ – 4mx – 1 =0 (với m là tham số) có hai nghiệm x1, x2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =|x1 – x2|

0 bình luận về “Giả sử phương trình 2x $x^{2}$ – 4mx – 1 =0 (với m là tham số) có hai nghiệm x1, x2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =|x1 – x2|”

1. Đáp án: $T\ge \sqrt{2}$

   Giải thích các bước giải:

   Vì $ac=-2<0\to$Phương trình luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

   $\to\begin{cases} x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-\dfrac12\end{cases}$
   $\to T=|x_1-x_2|$
   $\to T=\sqrt{(x_1-x_2)^2}$
   $\to T=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$
   $\to T=\sqrt{(2m)^2+2}$
   $\to T=\sqrt{4m^2+2}\ge\sqrt{2}$
   Dấu = xảy ra khi $m=0$

   Bình luận

2. Đáp án:

   $\min T =\sqrt2 \Leftrightarrow m = 0$

   Giải thích các bước giải:

   $2x^2 – 4mx – 1 = 0$

   Áp dụng định lý Viète ta được:

   $\begin{cases}x_1 + x_2 = 2m\\x_1x_2 = -\dfrac12\end{cases}\qquad (*)$

   Ta có:

   $T =|x_1 – x_2|$

   $\to T^2 = (x_1-x_2)^2$

   $\to T^2 = (x_1+x_2) – 4x_1x_2$

   Thay $(*)$ vào ta được:

   $T^2 = 4m^2 – 4\cdot\left(-\dfrac12\right)$

   $\to T^2 = 4m^2 + 2$

   Do $m^2 \geq 0\quad \forall m$

   nên $4m^2 + 2 \geq 2$

   $\to T^2 \geq 2$

   $\to T \geq \sqrt2$

   Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow m = 0$

   Vậy $\min T =\sqrt2 \Leftrightarrow m = 0$

   Bình luận