Giả thuyết x,y,z > 0 và xy+xz+yz =a Cm: x$\sqrt[]{}$ $\frac{(a+y^2)(a+z^2)}{a+x^2}$ + y$\sqrt[]{}$ $\frac{(a+z^2)(a+x^2)}{a+y^2}$ + z$\sqrt[]{}$ $\fra

Đáp án:Bài này là dạng tổng quát bình thường người ta cho `xy+yz+zx=1,2,…` rồi tính.

Đề bài mình nghĩ là chứng minh `x\sqrt{((a+y^2)(a+z^2))/(a+x^2)}+y\sqrt{((a+z^2)(a+x^2))/(a+y^2)}+z\sqrt{((a+x^2)(a+y^2))/(a+z^2)}=2a`

Giải thích các bước giải:

Đặt `A=x\sqrt{((a+y^2)(a+z^2))/(a+x^2)}+y\sqrt{((a+z^2)(a+x^2))/(a+y^2)}+z\sqrt{((a+x^2)(a+y^2))/(a+z^2)}`

Ta có:

`a+x^2=x^2+xy+yz+zx=x(x+y)+z(x+y)=(x+y)(x+z)`

Chứng minh tương tự:

`a+y^2=(x+y)(y+z)`

`a+z^2=(x+z)(y+z)`

`=>A=x\sqrt{((x+y)(y+z)(y+z)(z+x))/((x+y)(x+z))}+y\sqrt{((x+z)(y+z)(x+y)(x+z))/((x+y)(y+z))}+z\sqrt{((x+y)(x+z)(y+z)(x+y))/((x+z)(y+z))}`

`<=>A=x\sqrt{(y+z)^2}+y\sqrt{(z+x)^2}+z\sqrt{(x+y)^2}`

`<=>A=x|y+z|+y|z+x|+z|x+y|`

Vì `x,y,z>0=>y+z,z+x,x+y>0`

`=>A=x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)`

`<=>A=xy+zx+yz+xy+zx+yz`

`<=>A=2(xy+yz+zx)=2a(đpcm).`