Giá trị của m để đường thẳng y=2x +m cắt đường công y= $\frac{x+1}{x-1}$ tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho đoạn AB ngắn nhất.

0 bình luận về “Giá trị của m để đường thẳng y=2x +m cắt đường công y= $\frac{x+1}{x-1}$ tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho đoạn AB ngắn nhất.”

1. Đáp án:

   $m=-1$

   Giải thích các bước giải:

   Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:

   $2m=\dfrac{x+1}{x-1}$ $(x\ne1)$

   $\Rightarrow(2x+m)(x-1)=x+1$

   $\Leftrightarrow 2x^2-2x+mx-m=x+1$

   $\Leftrightarrow 2x^2+x(m-3)-m-1=0$ (*)

   Để đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt A và B thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

   $\Rightarrow\begin{cases}\Delta>0\\2+(m-3)-m-1\ne0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(m-3)^2-4.2.(-m-1)>0\\2+(m-3)-m-1\ne0\end{cases}$

   $\Leftrightarrow \begin{cases}m^2+2m+17>0\text{ (luôn đúng)}\\-2\ne0\text{(luôn đúng)}\end{cases}$

   Theo Vi-et ta có:

   $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{3-m}2\\x_1.x_2=\dfrac{-m-1}{2}\end{cases}$

   Gọi $A(x_1;2x_1+m), B(x_2;2x_2+m)$

   $\Rightarrow AB^2=(x_1-x_2)^2+(2x_1-2x_2)^2=5(x_1-x_2)^2$

   Để AB ngắn nhất thì $(x_1-x_2)^2$ đạt nhỏ nhất

   $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1.x_2$

   $=\dfrac{(3-m)^2}4-4.\dfrac{-m-1}2$

   $=\dfrac{9-6m+m^2+8m+8}4=\dfrac{m^2+2m+17}4$

   $=\dfrac{m^2+2m+1}4+4\ge\dfrac{(m+1)^2}4+4\ge4$

   Vậy $AB_{\min}=4$ dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow m=-1$.

    

   Trả lời