giá trị nhỏ nhất m của hàm số f(x) = x+$\frac{2}{x-1}$ với x>1 bằng 14/08/2021 Bởi Peyton giá trị nhỏ nhất m của hàm số f(x) = x+$\frac{2}{x-1}$ với x>1 bằng
Đáp án: \(Min = 2\sqrt 2 + 1\) Giải thích các bước giải: \(\begin{array}{l}f\left( x \right) = x + \dfrac{2}{{x – 1}}\\ = x – 1 + \dfrac{2}{{x – 1}} + 1\\Do:x > 1\\ \to BDT:Co – si:\left( {x – 1} \right) + \dfrac{2}{{x – 1}} \ge 2\sqrt {\left( {x – 1} \right).\dfrac{2}{{x – 1}}} = 2\sqrt 2 \\ \to \left( {x – 1} \right) + \dfrac{2}{{x – 1}} + 1 \ge 2\sqrt 2 + 1\\ \to Min = 2\sqrt 2 + 1\\ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right) = \dfrac{2}{{x – 1}}\\ \to \left| {x – 1} \right| = \sqrt 2 \\ \to \left[ \begin{array}{l}x – 1 = \sqrt 2 \\x – 1 = – \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \to \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 – \sqrt 2 \left( l \right)\end{array} \right.\end{array}\) Bình luận
Đáp án:
\(Min = 2\sqrt 2 + 1\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = x + \dfrac{2}{{x – 1}}\\
= x – 1 + \dfrac{2}{{x – 1}} + 1\\
Do:x > 1\\
\to BDT:Co – si:\left( {x – 1} \right) + \dfrac{2}{{x – 1}} \ge 2\sqrt {\left( {x – 1} \right).\dfrac{2}{{x – 1}}} = 2\sqrt 2 \\
\to \left( {x – 1} \right) + \dfrac{2}{{x – 1}} + 1 \ge 2\sqrt 2 + 1\\
\to Min = 2\sqrt 2 + 1\\
\Leftrightarrow \left( {x – 1} \right) = \dfrac{2}{{x – 1}}\\
\to \left| {x – 1} \right| = \sqrt 2 \\
\to \left[ \begin{array}{l}
x – 1 = \sqrt 2 \\
x – 1 = – \sqrt 2
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt 2 \\
x = 1 – \sqrt 2 \left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)