Giải bằng phương pháp biến đổi tương đương:
a) x,y,z $\neq$ 0 thỏa $\left \{ {{xyz=1} \atop {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < x + y + z}} \right.$
CMR: có đúng một trong 3 số x, y, z lớn hơn 1
b) Cho xy=1 và x>y, CMR: $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ $\geq$ $2\sqrt[]{2}$
MONG GIẢI HAI CÂU LUÔN CHO EM Ạ. CẢM ƠN NHÌU.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) x + y + z > 1/x +1/y + 1/z
⇔ x + y + z > (xy + yz + zx)/xyz
⇔ x + y + z – (xy + yz + zx) > 0
⇔ xyz – (xy + yz + zx) + (x + y + z) – 1 > 0
⇔ (x – 1)(y – 1)(z – 1) > 0
Nếu đồng thời x – 1 > 0 ; y – 1 > 0; z – 1 > 0 ⇔ x > 1; y > 1; z > 1 ⇔ xyz > 1 ( không thỏa điều kiện xyz = 1), do đó chỉ có thể là:
Hoặc : x – 1 > 0 ; y – 1 < 0; z – 1 < 0 ⇔ x > 1; y < 1; z < 1
Hoặc : x – 1 < 0 ; y – 1 > 0; z – 1 < 0 ⇔ x < 1; y > 1; z < 1
Hoặc : x – 1 < 0 ; y – 1 < 0; z – 1 > 0 ⇔ x < 1; y < 1; z > 1
b) với mọi x, y ta luôn có :
(x – y – √2)² ≥ 0
⇔ (x – y)² – 2√2(x – y) + 2 ≥ 0
⇔ x² + y² – 2xy + 2 ≥ 2√2(x – y)
⇔ x² + y² ≥ 2√2(x – y) ( vì xy = 1 ⇔ 2 – 2xy = 0)
⇔ (x² + y²)/(x – y) ≥ 2√2 ( chia 2 vế cho x – y > 0)