Giải bằng phương pháp biến đổi tương đương: a) x,y,z $\neq$ 0 thỏa $\left \{ {{xyz=1} \atop {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < x + y + z}}

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) x + y + z > 1/x +1/y + 1/z

⇔ x + y + z > (xy + yz + zx)/xyz

⇔ x + y + z – (xy + yz + zx) > 0

⇔ xyz – (xy + yz + zx) + (x + y + z) – 1 > 0

⇔ (x – 1)(y – 1)(z – 1) > 0

Nếu đồng thời  x – 1 > 0 ; y – 1 > 0; z – 1 > 0 ⇔  x > 1; y > 1; z > 1 ⇔ xyz > 1 ( không thỏa điều kiện xyz = 1), do đó chỉ có thể là:

Hoặc : x – 1 > 0 ; y – 1 < 0; z – 1 < 0 ⇔ x > 1; y < 1; z < 1

Hoặc : x – 1 < 0 ; y – 1 > 0; z – 1 < 0 ⇔ x < 1; y > 1; z < 1

Hoặc : x – 1 < 0 ; y – 1 < 0; z – 1 > 0 ⇔ x < 1; y < 1; z > 1

b) với mọi x, y ta luôn có :

(x – y – √2)² ≥ 0

⇔ (x – y)² – 2√2(x – y) + 2 ≥ 0

⇔ x² + y² – 2xy + 2 ≥ 2√2(x – y)

⇔ x² + y² ≥ 2√2(x – y) ( vì xy = 1 ⇔ 2 – 2xy = 0)

⇔ (x² + y²)/(x – y) ≥ 2√2 ( chia 2 vế cho x – y > 0)