Giải bất phương trình: (không giải kiểu bình phương lên nhá) $\sqrt[]{3x^{2}-12x+1 }$ +6$\leq$ 2$x^{2}$ -8x 31/08/2021 Bởi Iris Giải bất phương trình: (không giải kiểu bình phương lên nhá) $\sqrt[]{3x^{2}-12x+1 }$ +6$\leq$ 2$x^{2}$ -8x
Đáp án: $x \leqslant -1\ \text{hoặc}\ x \geqslant 5 $ Giải thích các bước giải: \(\begin{array}{l}\quad \sqrt{3x^2 – 12x + 1} + 6 \leqslant 2x^2 – 8x\\\Leftrightarrow \sqrt{3(x^2 – 4x) + 1} \leqslant 2(x^2 – 4x) – 6\\Đặt\ t = x^2 – 4x\\\text{Bất phương trình trở thành:}\\\quad \sqrt{3t + 1} \leqslant 2t – 6\\\Leftrightarrow \begin{cases}2t – 6 \geqslant 0\\3t + 1 \geqslant 0\\3t + 1 \leqslant (2t -6)^2\end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases}t \geqslant 3\\t \geqslant – \dfrac13\\4t^2 – 27t + 35 \geqslant 0\end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases}t \geqslant 3\\\left[\begin{array}{l}t \geqslant 5\\t \leqslant \dfrac74\end{array}\right.\end{cases}\\\Leftrightarrow t \geqslant 5\\\Leftrightarrow x^2 – 4x \geqslant 5\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x \geqslant 5\\x \leqslant -1\end{array}\right.\\\text{Vậy}\ x \leqslant -1\ \text{hoặc}\ x \geqslant 5\end{array}\) _____________________________________________________________ \(\begin{array}{l}\quad \sqrt{3x^2 -12x + 1} + 6 \leqslant 2x^2 -8x\qquad \left(ĐK: \left[\begin{array}{l}x \geqslant \dfrac{6 + \sqrt{33}}{3}\\x \leqslant \dfrac{6 – \sqrt{33}}{3}\end{array}\right.\right)\\\Leftrightarrow \sqrt{3x^2 – 12x + 1} – 4 \leqslant 2x^2 – 8x – 10\\\Leftrightarrow \dfrac{3(x^2 – 4x – 5)}{\sqrt{3x^2- 12x + 1} + 4} \leqslant 2(x^2 -4x – 5)\\\Leftrightarrow (x^2 – 4x – 5)\left(2 – \dfrac{3}{\sqrt{3x^2 – 12x + 1} + 4}\right) \geqslant 0\quad (*)\\\text{Ta có:}\\\quad 2 – \dfrac{3}{\sqrt{3x^2 – 12x + 1} + 4}= \dfrac{2\sqrt{3x^2 – 12x + 1} + 5}{\sqrt{3x^2 – 12x + 1} + 4} >0\\\text{Do đó:}\\(*) \Leftrightarrow x^2 – 4x – 5 \geqslant 0\\\qquad \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x \geqslant 5\\x \leqslant -1\end{array}\right.\\\text{Vậy}\ x \leqslant -1\ \text{hoặc}\ x \geqslant 5\end{array}\) Bình luận
Đáp án:
$x \leqslant -1\ \text{hoặc}\ x \geqslant 5 $
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\quad \sqrt{3x^2 – 12x + 1} + 6 \leqslant 2x^2 – 8x\\
\Leftrightarrow \sqrt{3(x^2 – 4x) + 1} \leqslant 2(x^2 – 4x) – 6\\
Đặt\ t = x^2 – 4x\\
\text{Bất phương trình trở thành:}\\
\quad \sqrt{3t + 1} \leqslant 2t – 6\\
\Leftrightarrow \begin{cases}2t – 6 \geqslant 0\\3t + 1 \geqslant 0\\3t + 1 \leqslant (2t -6)^2\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}t \geqslant 3\\t \geqslant – \dfrac13\\4t^2 – 27t + 35 \geqslant 0\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}t \geqslant 3\\\left[\begin{array}{l}t \geqslant 5\\t \leqslant \dfrac74\end{array}\right.\end{cases}\\
\Leftrightarrow t \geqslant 5\\
\Leftrightarrow x^2 – 4x \geqslant 5\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x \geqslant 5\\x \leqslant -1\end{array}\right.\\
\text{Vậy}\ x \leqslant -1\ \text{hoặc}\ x \geqslant 5
\end{array}\)
_____________________________________________________________
\(\begin{array}{l}
\quad \sqrt{3x^2 -12x + 1} + 6 \leqslant 2x^2 -8x\qquad \left(ĐK: \left[\begin{array}{l}x \geqslant \dfrac{6 + \sqrt{33}}{3}\\x \leqslant \dfrac{6 – \sqrt{33}}{3}\end{array}\right.\right)\\
\Leftrightarrow \sqrt{3x^2 – 12x + 1} – 4 \leqslant 2x^2 – 8x – 10\\
\Leftrightarrow \dfrac{3(x^2 – 4x – 5)}{\sqrt{3x^2- 12x + 1} + 4} \leqslant 2(x^2 -4x – 5)\\
\Leftrightarrow (x^2 – 4x – 5)\left(2 – \dfrac{3}{\sqrt{3x^2 – 12x + 1} + 4}\right) \geqslant 0\quad (*)\\
\text{Ta có:}\\
\quad 2 – \dfrac{3}{\sqrt{3x^2 – 12x + 1} + 4}= \dfrac{2\sqrt{3x^2 – 12x + 1} + 5}{\sqrt{3x^2 – 12x + 1} + 4} >0\\
\text{Do đó:}\\
(*) \Leftrightarrow x^2 – 4x – 5 \geqslant 0\\
\qquad \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x \geqslant 5\\x \leqslant -1\end{array}\right.\\
\text{Vậy}\ x \leqslant -1\ \text{hoặc}\ x \geqslant 5
\end{array}\)