Giải btp : (x-7) (x²+x-2) / 2x²-x+3 <=0 √x2-2x-8 <= x-2

Xét hệ bptrinh

$\begin{cases} \dfrac{(x-7)(x^2 + x – 2)}{2x^2 – x + 3} \leq 0\\ \sqrt{x^2 – 2x – 8} \leq x-2 \end{cases}$

Xét bptrinh đàu ta có

$\dfrac{(x-7)(x^2 + x – 2)}{2x^2 – x + 3} \leq 0$

Do $2x^2 – x + 3 > 0$ nên ta có

$(x-7)(x^2 + x – 2) \leq 0$

$<-> (x-7)(x-1)(x+2) \leq 0$

Vậy $x \leq -2$ hoặc $1 \leq x \leq 7$.

Xét bptrinh sau ta có

$\sqrt{x^2 – 2x – 8} \leq x-2$

ĐK $x^2 – 2x – 8 \geq 0$ hay $x \geq 4$ hoặc $x \leq -2$

Với $x \leq -2$ thì bptrinh trên đúng với mọi $x$.

Với $x \geq 4$, bình phương 2 vế ta có

$x^2 – 2x – 8 \leq x^2 – 4x + 4$

$<-> 2x \leq 12$

$<-> x \leq 6$

Vậy $4 \leq x \leq 6$.

Vậy miền nghiệm của bptrinh thứ hai là $x \leq -2$ hoặc $4 \leq x \leq 6$.

Kết hợp vs miền nghiệm của bptrinh đầu ta có $x \leq -2$ hoặc $4 \leq x \leq 6$.

Vậy miền nghiệm của hệ là $(-\infty, -2] \cup [4, 6]$.