giải các phương trình: 1, $2^{x}$ + $3^{y}$ =z ² (x,y,z thuộc N)

Đáp án:

+)với y=0 thì $2^{x}$ =(z-1)(z+1)

nếu x=0⇒(z-1)(z+1)=1⇒pt vô nghiệm

nếu x$\neq$ 0⇒(z-1)(z+1) chẵn ⇒z-1 chẵn và z+1 chẵn 

Đặt z-1=2k⇒z+1=2k+2⇒$2^{x}$ =(z-1)(z+1)=4k(k+1)    (1)

do VT của (1) là lũy thừa cơ số 2 VP của (1) là tích cuar4 cho tích của 2 số tự nhiên liên tiếp

⇒k=1⇒x=z=3

+)với y$\neq$ 0

nếu x lẻ ta có $2^{x}$ ≡2(mod 3)⇒$2^{x}$ +$3^{y}$ ≡2(mod 3) (vô lý)

⇒x chẵn 

nếu x=0⇒$3^{y}$ +1=z²⇒(z-1)(z+1)=$3^{y}$ ⇒z=2,y=1

nếu x$\neq$ 0 mà x chẵn nên ta có $2^{x}$ ≡0(mod4)

mặt khác z² chia 4 dư 0 hoặc 1

nếu z²≡0(mod4)⇒$3^{y}$ ≡0(mod4) (vô lý)

⇒z²≡1(mod 4)⇒$3^{y}$ ≡1(mod4)⇒y chẵn .đặt y=2n

ta có $2^{x}$ =$z^{2}$ -$3^{2n}$ =(z-$3^{n}$ )(z+$3^{n}$ )

khi đó :(z-$3^{n}$ )(z+$3^{n}$ )=$2^{p}$ .$2^{q}$ (p<q)

⇔$\left \{ {{z-3^{n}} =2^{p}\atop {z+3^{n}}=2^{q}} \right.$ 

⇔2.$3^{n}$ =$2^{p}$ ($2^{p-q}$-1) ⇒p=1⇒z-$3^{n}$ =2⇒$2^{q-1}$- $3^{n}$=1

ta có  $3^{n}$ ≡0(mod3)⇒$2^{q-1}$ ≡1(mod3)⇒q-1 chẵn .đặt q-1=2m

khi đó:$2^{2m}$ -$3^{n}$=1 ⇔($2^{m}$-1)( $2^{m}$+1)= $3^{n}$=$3^{n1}$. $3^{n2}$ (n1<n2)

⇔$\left \{ {{2^{m}-1=3^{n1}} \atop { 2^{m}+1 = 3^{n2}}} \right.$ ⇔2=$3^{n2}$- $3^{n1}$ =$3^{n1}$( $3^{n2-n1}$-1) ⇒n1=0⇒n2=1⇒y=2⇒z=5,x=4

Vậy bộ ba nghiệm (x,y,z) cần tìm là (0,1,2),(3,0,3),(4,2,5)