giải các phương trình sau:
a)$\sqrt[]{x+3-4\sqrt[]{x-1}}$ `-` $\sqrt[]{x+8-6\sqrt[]{x-1}}$ `= 1`
b)`2x^2 +3x +` $\sqrt[]{2x^2 +3x +9}$ `= 33`
giải các phương trình sau:
a)$\sqrt[]{x+3-4\sqrt[]{x-1}}$ `-` $\sqrt[]{x+8-6\sqrt[]{x-1}}$ `= 1`
b)`2x^2 +3x +` $\sqrt[]{2x^2 +3x +9}$ `= 33`
Đáp án:
a) $ x ≥ 10$
Giải thích các bước giải: Tham khảo
a) ĐKXĐ $: x ≥ 1$
Để dễ nhìn đặt $: t = \sqrt{x – 1} ≥ 0 ⇒ x = t² + 1$
$ PT ⇔ \sqrt{t² + 4 – 4t} – \sqrt{t² + 9 – 6t} = 1$
$ ⇔ \sqrt{t² + 4 – 4t} = \sqrt{t² + 9 – 6t} + 1$
$ ⇔ t² + 4 – 4t = (t² + 9 – 6t) + 1 + 2\sqrt{t² + 9 – 6t} $
$ ⇔ 2\sqrt{(t – 3)²} = 2(t – 3)$
$ ⇔ |t – 3| = t – 3 ≥ 0 $ ( tính chất GTTĐ)
$ ⇔ t ≥ 3 ⇔ \sqrt{x – 1} ≥ 3 ⇔ x ≥ 10$
Cách khác áp dụng BĐT về GTTĐ
$ |t – 2| – |t – 3| = 1$
$ ⇒ |t – 2| = |t – 3| + |1| ≥ |(t – 3) + 1| = |t – 2|$
Đã xảy ra dấu $’=’ ⇒ (t – 3).1 ≥ 0 ⇔ t ≥ 3 ⇔ x ≥ 10$
Đáp án:
a) x=10
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a)DK:x \ge 1\\
\sqrt {x – 1 – 2.2\sqrt {x – 1} + 4} – \sqrt {x – 1 – 2.3.\sqrt {x – 1} + 9} = 1\\
\to \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 1} – 2} \right)}^2}} – \sqrt {{{\left( {\sqrt {x – 1} – 3} \right)}^2}} = 1\\
\to \left| {\sqrt {x – 1} – 2} \right| – \left| {\sqrt {x – 1} – 3} \right| = 1\\
\to \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x – 1} – 2 + \sqrt {x – 1} – 3 = 1\left( {DK:\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x – 1} \ge 2\\
\sqrt {x – 1} \le 3
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 5\\
x \le 10
\end{array} \right.} \right)\\
– \sqrt {x – 1} + 2 – \sqrt {x – 1} + 3 = 1\left( {DK:\left[ \begin{array}{l}
x > 10\\
x < 5
\end{array} \right.} \right)
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
2\sqrt {x – 1} = 6\\
– 2\sqrt {x – 1} = – 4
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x – 1} = 3\\
\sqrt {x – 1} = 2
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
x – 1 = 9\\
x – 1 = 4
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
x = 10\\
x = 5\left( l \right)
\end{array} \right.\\
b)Đặt:\sqrt {2{x^2} + 3x + 9} = t\left( {t \ge 0} \right)\\
\to 2{x^2} + 3x + 9 = {t^2}\\
\to 2{x^2} + 3x = {t^2} – 9\\
Pt \to {t^2} – 9 + t = 33\\
\to {t^2} + t – 42 = 0\\
\to \left( {t – 6} \right)\left( {t + 7} \right) = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
t = 6\\
t = – 7\left( l \right)
\end{array} \right.\\
\to 2{x^2} + 3x + 9 = 36\\
\to \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = – \dfrac{9}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)