Giải giúp em với ạ!!!!
Giải các hệ phương trình sau:
xy+x ² $\left \{ {{xy+x^{2}=1+y} \atop {xy+y^{2}=1+x}} \right.$
Giải giúp em với ạ!!!!
Giải các hệ phương trình sau:
xy+x ² $\left \{ {{xy+x^{2}=1+y} \atop {xy+y^{2}=1+x}} \right.$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
xy + {x^2} = 1 + y\\
xy + {y^2} = 1 + x
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {xy + {x^2}} \right) – \left( {xy + {y^2}} \right) = \left( {1 + y} \right) – \left( {1 + x} \right)\\
\Leftrightarrow {x^2} – {y^2} = y – x\\
\Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) + \left( {x – y} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x – y = 0\\
x + y + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
x = – y – 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
Thay x=y vào pt thứ nhất ta được:
\[\begin{array}{l}
{x^2} + {x^2} = 1 + x\\
\Leftrightarrow 2{x^2} – x – 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y = 1\\
x = y = – \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Thay y=-x-1 vào pt thứ nhất ta được:
\[\begin{array}{l}
\left( { – 1 – x} \right)x + {x^2} = 1 + \left( { – 1 – x} \right)\\
\Leftrightarrow – 1 = – x\\
\Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = – 1
\end{array}\]
Thử lại vào pt thứ 2 ta thấy không thỏa mãn
Vậy\[\left[ \begin{array}{l}
x = y = 1\\
x = y = – \frac{1}{2}
\end{array} \right.\]