Giải giúp mình câu d) với mn ơi (mấy câu còn lại mình giải hết rồi ^^)
Bài IV: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn (O;R) vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn đó. Gọi M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn (O;R) (với M khác A, M khác B), tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D.
a,Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp (đã c/minh)
b, Chứng minh tam giác COD vuông tại O (đã c/minh)
c, Chứng minh AC.BD = R2 (đã c/minh)
d, Kẻ MN ⊥ AB (N ∈ AB); BC cắt MN tại I. Chứng minh I là trung điểm của MN.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
d) Kẻ \(MN \bot AB\,\,\left( {N \in AB} \right)\); \(BC\) cắt \(MN\) tại \(I\). Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(MN\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot AB\\BD \bot AB\\MN \bot AB\end{array} \right.\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AC//BD//MN\) (Từ vuông góc đến song song).
Gọi \(P = AM \cap CN\). Áp dụng định lí Ta-lét ta có : \(\dfrac{{MI}}{{AC}} = \dfrac{{PI}}{{PC}};\,\,\dfrac{{NI}}{{AC}} = \dfrac{{BI}}{{BC}}\) (3).
Ta có : \(\widehat{AMB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat{AMN} + \widehat{NMB} = {90^0}\).
Mà trong tam giác vuông \(MNB\) lại có: \(\angle NBM + \angle NMB = {90^0}\)
\( \Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{NBM} = \widehat{ABM}\).
Ta có : \(\widehat{ABM} = \widehat{AMC}\) (góc nội tiếp và tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AM\)) ;
\(\widehat{ABM} = \widehat{AMN}\) (cmt) ;
\( \Rightarrow \widehat{AMC} = \widehat{AMN} \Rightarrow MA\) là tia phân giác trong của góc \(CMN\).
Mà \(MB \bot MA\,\,\left( {\widehat{AMB} = {{90}^0}} \right) \Rightarrow MB\) là tia phân giác ngoài của góc \(CMN\).
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác \(CMI\) ta có: \(\dfrac{{MI}}{{MC}} = \dfrac{{PI}}{{PC}} = \dfrac{{BI}}{{BC}}\) (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \dfrac{{MI}}{{AC}} = \dfrac{{NI}}{{AC}} \Leftrightarrow MI = NI\).
Vậy \(I\) là trung điểm của \(MN\) (đpcm).