Giải giúp mình với: Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1 không phải là số chính phương.
Giải giúp mình với: Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1 không phải là số chính phương.
Đáp án:
Tham khảo
Giải thích các bước giải:
$ n^6-n^4+2n³+2n²=n².(n^4-n²+2n+2)=n²[n²(n-1)(n+1)+2(n+1)]$
$=n²[(n+1)(n³-n²+2)]=n²(n+1)[(n³+1)-(n²-1)]$
$=n²(n+1)².(n²-2n+2)$
Với $n∈N,n>1$ thì $n²-2n+2=(n-1)²+1>(n-1)²$
và $n²-2n+2=n²-2(n+1)<n²$
Vậy$(n-1)²<n²-2n+2<n²⇒n²-2n+2 $không phải là một số chính phương
$n^6-n^4+2n^3+2n^2$
$=n^2(n^4-n^2+2n+2)$
$=n^2[n^2(n^2-1)+2(n+1)]$
$=n^2[n^2.(n-1)(n+1)+2(n+1)]$
$=n^2[(n+1)(n^3-n^2+2)]$
$=n^2[(n+1).(n^3+n^2-2n^2+2)]$
$=n^2.(n+1)(n+1)(n^2-2n+2)$
$=n^2.(n+1)^2.(n^2-2n+2)$
Ta thấy$n^2.(n+1)^2=[n(n+1)]^2$
$n^2-2n+2=(n^2-2n+1)+1=(n-1)^2+1>(n-1)^2$
$n^2-2n+2=n^2-(2n-2)<n^2$ (do $n>1⇒2n-2>0$)
$⇒(n-1)^2<n^2-2n+2<n^2$
Mà $(n-1)^2;n^2$ là 2 số chính phương liên tiếp
$⇒n^2-2n+2$ ko thể là số chính phương
$⇒n^2.(n+1)^2.(n^2-2n+2)$ ko thể là số chính phương
$⇒n^6-n^4+2n^3+2n^2$ ko thể là số chính phương với $n∈N;n>1$ (đpcm)