Giải hệ $\begin{cases}(x-1/y)(y+1/x)=2\\2x^2y+xy^2-4xy=2x-y\\\end{cases}$

0 bình luận về “Giải hệ $\begin{cases}(x-1/y)(y+1/x)=2\\2x^2y+xy^2-4xy=2x-y\\\end{cases}$”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    ĐKXĐ: $x;y \neq 0$

   $\begin{cases}\left(x-\dfrac{1}{y} \right)\left(y+\dfrac{1}{x} \right)=2\\2x^2y+xy^2-4xy=2x-y\\\end{cases}$

   $⇔\begin{cases}\left(x-\dfrac{1}{y} \right)\left(y+\dfrac{1}{x} \right)=2\\\dfrac{2x^2y+xy^2-4xy}{xy}=\dfrac{2x-y}{xy}\\\end{cases}$

   $⇔\begin{cases}\left(x-\dfrac{1}{y} \right)\left(y+\dfrac{1}{x} \right)=2\\ 2x+y-4=\dfrac{2}{y}-\dfrac{1}{x}\\\end{cases}$

   $⇔\begin{cases}\left(x-\dfrac{1}{y} \right)\left(y+\dfrac{1}{x} \right)=2\\ 2\left(x-\dfrac{1}{y} \right)+\left(y+\dfrac{1}{x}\right)=4\\\end{cases}$

   Đặt $\begin{cases}\\x-\dfrac{1}{y}=u\\ y+\dfrac{1}{x}=v\\\end{cases}$ ta được hệ:

   $\begin{cases}\\uv=2\\ 2u+v=4\\\end{cases}$$⇔\begin{cases}\\2u.v=4\\ 2u+v=4\\\end{cases}$

   Theo Viet đảo, $2u$ và $v$ là nghiệm của:

   $t^2-4t+4=0⇔t=2$

   $⇔2u=v=2⇒u=1;v=2$

   $⇔\begin{cases}\\x-\dfrac{1}{y}=1\\ y+\dfrac{1}{x}=2\\\end{cases}$

   $⇔\begin{cases}\\xy-1=y\\ xy+1=2x\\\end{cases}$

   $⇒2=2x-y⇒y=2x-2$

   Thế vào $xy-1=2y$ ta được:

   $x(2x-2)-1=2(2x-2)⇔2x^2-6x+3=0$

   $⇔
   \left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}⇒y=1+\sqrt{3}\\x=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}⇒y=1-\sqrt{3}\end{array} \right.$

   Thật ra pt đầu có thế nhân phá và biến đổi thành:

   $xy-1+1-\dfrac{1}{xy}=2⇔(xy)^2-2xy-1=0$

   Giải ra được $xy$ rồi thế xuống pt dưới, nhưng nghiệm căn xấu quá nên chuyển hướng làm cách kia 🙁

   Bình luận