Giải hệ phương trình 2x ³+3x ²y=5
và y ³+6xy ²=7
Giải hộ em với
0 bình luận về “Giải hệ phương trình 2x ³+3x ²y=5
và y ³+6xy ²=7
Giải hộ em với”
Ta thấy nếu y=0 thì ptrinh sau ko đc thỏa mãn, vậy y phải khác 0.
Chia cả tử và mẫu của hai ptrinh cho $y^3$, ta có
$$\begin{cases}
2.\dfrac{x^3}{y^3} + 3 \dfrac{x^2}{y^2} = \dfrac{5}{y^3}\\
1 + 6.\dfrac{x}{y} = \dfrac{7}{y^3}
\end{cases}$$
Nhân ptrinh trên vs 7, nhân ptrinh dưới với 5, ta thu được đẳng thức
$$14 \left( \dfrac{x}{y} \right)^3 + 21 \left( \dfrac{x}{y} \right)^2 = 5 + 30 \left( \dfrac{x}{y} \right) \left( = \dfrac{35}{y^3} \right)$$
Đặt $\dfrac{x}{y} = t$, ta có
$$14t^3 + 21t^2 -30t -5 = 0$$
$$<-> (t-1) (14t^2 +35t+5) = 0$$
$$<-> t=1 \, \text{hoặc} \, 14t^2 + 35t + 5 = 0$$
TH1: t=1
Vậy ta có x= y. Thế vào ptrinh đầu tiên ta có
$$2x^3 + 3x^3 = 5<-> x^3 = 1$$
Vậy $x=1$, suy ra $y = 1$.
TH2: 14t^2 + 35t + 5
Từ hệ ptrinh ta có
$$\begin{cases}
x^2(2x + 3y) = 5\\
y^2(y + 6x) = 7
\end{cases}$$
Vậy ta có $2x + 3y >0$ và $6x+y >0$.
Giải hệ bất PT này, ta thu được $x>0$ và $y>0$
Mặt khác, ptrinh sau có 2 nghiệm $t_1, t_2$
$$14t^2 + 35t + 5 = 0$$
thỏa mãn
$$\begin{cases}
t_1 + t_2 = -\dfrac{3}{2}\\
t_1 t_2 = \dfrac{5}{14}
\end{cases}$$
Vậy ptrinh có 2 nghiệm âm, suy ra $\dfrac{x}{y} <0$. Điều này là vô lý do cả $x$ và $y$ đều lớn hơn 0.
Vậy ptrinh có nghiệm duy nhất là (1,1).
Ta thấy nếu y=0 thì ptrinh sau ko đc thỏa mãn, vậy y phải khác 0.
Chia cả tử và mẫu của hai ptrinh cho $y^3$, ta có
$$\begin{cases}
2.\dfrac{x^3}{y^3} + 3 \dfrac{x^2}{y^2} = \dfrac{5}{y^3}\\
1 + 6.\dfrac{x}{y} = \dfrac{7}{y^3}
\end{cases}$$
Nhân ptrinh trên vs 7, nhân ptrinh dưới với 5, ta thu được đẳng thức
$$14 \left( \dfrac{x}{y} \right)^3 + 21 \left( \dfrac{x}{y} \right)^2 = 5 + 30 \left( \dfrac{x}{y} \right) \left( = \dfrac{35}{y^3} \right)$$
Đặt $\dfrac{x}{y} = t$, ta có
$$14t^3 + 21t^2 -30t -5 = 0$$
$$<-> (t-1) (14t^2 +35t+5) = 0$$
$$<-> t=1 \, \text{hoặc} \, 14t^2 + 35t + 5 = 0$$
TH1: t=1
Vậy ta có x= y. Thế vào ptrinh đầu tiên ta có
$$2x^3 + 3x^3 = 5<-> x^3 = 1$$
Vậy $x=1$, suy ra $y = 1$.
TH2: 14t^2 + 35t + 5
Từ hệ ptrinh ta có
$$\begin{cases}
x^2(2x + 3y) = 5\\
y^2(y + 6x) = 7
\end{cases}$$
Vậy ta có $2x + 3y >0$ và $6x+y >0$.
Giải hệ bất PT này, ta thu được $x>0$ và $y>0$
Mặt khác, ptrinh sau có 2 nghiệm $t_1, t_2$
$$14t^2 + 35t + 5 = 0$$
thỏa mãn
$$\begin{cases}
t_1 + t_2 = -\dfrac{3}{2}\\
t_1 t_2 = \dfrac{5}{14}
\end{cases}$$
Vậy ptrinh có 2 nghiệm âm, suy ra $\dfrac{x}{y} <0$. Điều này là vô lý do cả $x$ và $y$ đều lớn hơn 0.
Vậy ptrinh có nghiệm duy nhất là (1,1).