Giải hệ phương trình:
a) x+y+z=6
{ xy+yz-xz=-1
x^2+y^2+z^2=14
b) x^3-y^3=7
{
x^2.y-x.y^2=2
Giải hệ phương trình:
a) x+y+z=6
{ xy+yz-xz=-1
x^2+y^2+z^2=14
b) x^3-y^3=7
{
x^2.y-x.y^2=2
Đáp án:
a. (2,1,3) hoặc (3,1,2)
b. (-1,-2) hoặc (2,1)
Giải thích các bước giải:
a. Ta có:
xy+yz+xz=$\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}$ =$\frac{6^2-14}{2}$ =11
-> $\left \{ {{xy+yz+xz=11} \atop {xy+yz-xz=-1}} \right.$
<-> $\left \{ {{xy+yz=5} \atop {xz=6}} \right.$
-> y(x+z)=5
<-> y(6-y)=5
<-> -y²+6y-5=0
<-> y=5 hoặc y=1
Xét y=5
-> $\left \{ {{x+z=1} \atop {xz=6}} \right.$
<-> $\left \{ {{x=1-z} \atop {(1-z)z=6}} \right.$
<-> $\left \{ {{x=1-z} \atop {-z^2+z-6=0 (vô nghiệm)}} \right.$
Xét y=1
-> $\left \{ {{x+z=5} \atop {xz=6}} \right.$
<-> $\left \{ {{x=5-z} \atop {(5-z)z=6}} \right.$
<-> $\left \{ {{x=5-z} \atop {-z^2+5z-6=0 }} \right.$
<-> \(\left[ \begin{array}{l}\left \{ {{z=3} \atop {x=2 }} \right.\\\left \{ {{z=2} \atop {x=3 }} \right.\end{array} \right.\)
-> Nghiệm của hệ phương trình là: (2,1,3) hoặc (3,1,2)
\(\begin{array}{l}
b.\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} – {y^3} = 7\\
{x^2}y – x{y^2} = 2
\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^3} – {y^3} = 7\\
3{x^2}y – 3x{y^2} = 6
\end{array} \right.\\
\to {x^3} – 3{x^2}y + 3x{y^2} – {y^3} = 7 – 6\\
\leftrightarrow {(x – y)^3} = 1\\
\leftrightarrow x – y = 1\\
\leftrightarrow x = 1 + y\\
\to {(1 + y)^3} – {y^3} = 7\\
\leftrightarrow 1 + 3y + 3{y^2} + {y^3} – {y^3} = 7\\
\leftrightarrow 3{y^2} + 3y – 6 = 0\\
\leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = – 2 \to x = – 1\\
y = 1 \to x = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)