giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
a) $\left \{ {{2/x+y/-/x-y/=9} \atop {3/x+y/+2/x-y/=17}} \right.$
b $\left \{ {{2(y+x)=5(x-y)} \atop {\frac{20}{x+y}+\frac{20}{x-y}=7}} \right.$
Dấu // là dấu giá trị tuyệt đối
giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
a) $\left \{ {{2/x+y/-/x-y/=9} \atop {3/x+y/+2/x-y/=17}} \right.$
b $\left \{ {{2(y+x)=5(x-y)} \atop {\frac{20}{x+y}+\frac{20}{x-y}=7}} \right.$
Dấu // là dấu giá trị tuyệt đối
Đáp án: a) hệ phương trình có 4 cặp nghiệm \((x;y)\)
b) hệ phương trình có 1 cặp nghiệm \((x;y)\)
Giải thích các bước giải:
a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
\left| {x + y} \right| = u\\
\left| {x – y} \right| = v
\end{array} \right.(u,v \ge 0) \Rightarrow \) ta có hệ phương trình u,v:
\(\left\{ \begin{array}{l}
2u – v = 9\\
3u + 2v = 17
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4u – 2v = 18\\
3u + 2v = 17
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
7u = 35\\
2u – v = 9
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = 5\\
2.5 – v = 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = 5\\
v = 1
\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện u,v ≥0 )
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {x + y} \right| = 5\\
\left| {x – y} \right| = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {x + y} \right| = 5\\
\left[ \begin{array}{l}
x – y = 1\\
x – y = – 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left| {x + y} \right| = 5\\
x – y = 1
\end{array} \right.(1)\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left| {x + y} \right| = 5\\
x – y = – 1
\end{array} \right.(2)
\end{array} \right.\)
Giải (1): Thay \(x = y + 1\) vào phương trình trên được:
\(\left| {y + 1 + y} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2y + 1 = 5\\
2y + 1 = – 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 2 \Rightarrow x = 3\\
y = – 3 \Rightarrow x = – 2
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow (x;y) = (3;2);(x;y) = ( – 2; – 3)\)
Giải (2) hoàn toàn tương tự ta được nghiệm:
\((x;y) = ( – 3; – 2);(x;y) = (2;3)\)
b) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = u\\
x – y = v
\end{array} \right.\) ta được hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
2u = 5v\\
\frac{{20}}{u} + \frac{{20}}{v} = 7
\end{array} \right.(u,v \ne 0)\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2u = 5v\\
20(\frac{1}{u} + \frac{1}{v}) = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2u = 5v\\
\frac{{u + v}}{{uv}} = \frac{7}{{20}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = \frac{{2u}}{5}\\
\frac{{u + \frac{{2u}}{5}}}{{u.\frac{{2u}}{5}}} = \frac{7}{{20}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = \frac{{2u}}{5}\\
\frac{{7u}}{{2{u^2}}} = \frac{7}{{20}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = \frac{{2u}}{5}\\
{u^2} – 10u = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = \frac{{2u}}{5}\\
\left[ \begin{array}{l}
u = 0\\
u = 10
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
v = \frac{{2u}}{5}\\
u = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
v = \frac{{2u}}{5}\\
u = 10
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
u = 0\\
v = 0
\end{array} \right.(loai)\\
\left\{ \begin{array}{l}
u = 10\\
v = 4
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 10\\
x – y = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x = 14\\
x – y = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 7\\
y = 3
\end{array} \right. \Rightarrow (x;y) = (7;3)\)