Giải hệ phương trình: $\begin{cases}(x-y)^2+(x+1)^2-y(x+1)-1=0\\x^3-y+1=0\end{cases}$

0 bình luận về “Giải hệ phương trình: $\begin{cases}(x-y)^2+(x+1)^2-y(x+1)-1=0\\x^3-y+1=0\end{cases}$”

1. Đáp án:

   `(x; y)=(0; 1); (1; 2); (-1; 0); (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}; -1+\sqrt{5}); (\frac{-1-\sqrt{5}}{2}; -1-\sqrt{5})`

   Giải thích các bước giải:

   $\begin{cases}(x-y)^2+(x+1)^2-y(x+1)-1=0 (1)\\x^3-y+1=0 (2)\end{cases}$

   Ta có: $(1) ⇔ (x-y)^2-1+(x+1)^2-y(x+1)=0$

   $⇔ (x-y-1)(x-y+1)+(x+1)(x-y+1)=0$

   $⇔ (x-y+1)(x-y-1+x+1)=0$

   $⇔ (x-y+1)(2x-y)=0$

   $*) TH1:$ $x-y+1=0 ⇔ y=x+1$

   Khi đó, $(2) ⇔ x^3-(x+1)+1=0$

   $⇔ x^3-x=0$

   $⇔ x(x-1)(x+1)=0$

   $⇔ \left[ \begin{array}{l}x=0 ⇒ y=1\\x=1 ⇒ y=2\\x=-1 ⇒ y=0\end{array} \right.$

   $*) TH2:$ $2x-y=0 ⇔ y=2x$

   Khi đó, $(2) ⇔ x^3-2x+1=0$

   $⇔ x^3-x^2+x^2-x-x+1=0$

   $⇔ (x-1)(x^2+x-1)=0$

   $⇔ \left[ \begin{array}{l}x=1\\x^2+x-1=0\end{array} \right.$

   $⇔ \left[ \begin{array}{l}x=1 ⇒ y=2\\x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} ⇒ y=-1+\sqrt{5}\\x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} ⇒ y=-1-\sqrt{5}\end{array} \right.$

   Vậy hệ phương trình có các cặp nghiệm:

   `(x; y)=(0; 1); (1; 2); (-1; 0); (\frac{-1+\sqrt{5}}{2}; -1+\sqrt{5}); (\frac{-1-\sqrt{5}}{2}; -1-\sqrt{5})`

   Bình luận

2. Mình hơi lười nên mình sẽ coi pt viết trước là $pt(1)$ , pt viết sau là $pt(2)$ nhé.

   Xét $pt(1):$ $(x-y)^2+(x+1)^2-y(x+1) – 1 = 0 $

   $\to (x-y)^2-1+(x+1).(x+1-y) = 0 $

   $\to (x-y+1).(x-y-1) + (x+1).(x+1-y)=0$

   $\to (x-y+1).(x-y-1+x+1) = 0 $

   $\to (x-y+1).(2x-y)=0$

   $\to $ $\left[ \begin{array}{l}y=x+1\\y=2x\end{array} \right.$

   +) Với $y=x+1$ thay vào $pt(2)$ ta có :

   $x^3+x+2=0$

   $\to (x+1).(x^2-x+2)=0$

   Mà $x^2-x+2=\bigg(x-\dfrac{1}{2}\bigg)^2 + \dfrac{7}{4}>0$

   Nên $x=-1 \to y=0$. 

   +) Với $y=2x$ thay vào $pt(2)$ ta có :

   $x^3-2x+1=0$

   $\to (x-1).(x^2+x-1)=0$

   $\to$ $\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=\dfrac{-1-\sqrt[]{5}}{2}\\x=\dfrac{-1+\sqrt[]{5}}{2}\end{array} \right.$

   Khi $x=1 \to y=2$

   Khi $x=\dfrac{-1+\sqrt[]{5}}{2} \to y =-1 + \sqrt[]{5}$

   Khi $x=\dfrac{-1-\sqrt[]{5}}{2} \to y = -1-\sqrt[]{5}$

   Vậy hệ phương trình cho có tập nghiệm : ….

   Bình luận