Giải hệ phương trình: $\left \{ {{x^2+y^2+xy=3} \atop {x^2+2xy-7x-5y+9=0}} \right.$

0 bình luận về “Giải hệ phương trình: $\left \{ {{x^2+y^2+xy=3} \atop {x^2+2xy-7x-5y+9=0}} \right.$”

1. Đáp án: $(x,y)\in\{(2, -1), (1,1)\}$

   Giải thích các bước giải:

   Cộng vế theo vế ta được:

   $2x^2+3xy+y^2-7x-5y+9=3$

   $\to 2x^2+3xy+y^2-7x-5y+6=0$

   $\to (x^2+2xy+y^2)+(x^2+xy-2x)-(5x+5y-10)-4=0$

   $\to (x+y)^2+x(x+y-2)-5(x+y-2)-4=0$

   $\to (x+y)^2-2^2+x(x+y-2)-5(x+y-2)=0$

   $\to (x+y-2)(x+y+2)+x(x+y-2)-5(x+y-2)=0$

   $\to (x+y-2)(x+y+2+x-5)=0$

   $\to (x+y-2)(2x+y-3)=0$

   $\to x+y-2=0$ hoặc $2x+y-3=0$

   Nếu $x+y-2=0\to y=-x+2$

   Mà $x^2+y^2+xy=3$

   $\to x^2+(-x+2)^2+x(-x+2)=3$

   $\to x^2-2x+4=3$

   $\to x^2-2x+1=0$

   $\to (x-1)^2=0$

   $\to x-1=0$

   $\to x=1\to y=1$

   Nếu $2x+y-3=0$

   $\to y=-2x+3$

   Mà $x^2+y^2+xy=3$

   $\to x^2+(-2x+3)^2+x(-2x+3)=3$

   $\to 3x^2-9x+9=3$

   $\to x^2-3x+2=0$

   $\to (x-1)(x-2)=0$

   $\to x\in\{1, 2\}$

   $\to y\in\{1, -1\}$

   Trả lời

2. Cộng hai phương trình vế theo vế ta được:$2x^2 + 3xy + y^2 – 7x – 5y + 6 = 0\Leftrightarrow 2x^2 + ( 3y – 7) x + y^2 – 5y + 6 = 0 (3)$

   Coi $x$ là ẩn số ta được $\Delta = (3y-7)^2 – 8( y^2 – 5y+6) = ( y-1)^2$

   Do đó: 
   $\left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{{ – 3y + 7 + y – 1}}{4} = \dfrac{{3 – y}}{2}\\ x = \dfrac{{ – 3y + 6 + 1 – y}}{2} = 2 – y \end{array} \right.$

   Xét $x = \dfrac{ 3-y}{2} \Leftrightarrow y = 3- 2x$, thay vào phương trình đầu tiên ta được:

   ${x^2} + {(3 – 2x)^2} + x(3 – 2x) = 3 \Leftrightarrow 3{x^2} – 9x + 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\Rightarrow y=3-2x=1\\ x = 2\Rightarrow y=3-2x=-1 \end{array} \right.$

   Xét $x=2-y$, thay vào phương trình đầu ta có:

   $x^2 + x(2-x) + (2-x)^2 = 3 \\ \Leftrightarrow x^2 – 2x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow x= 1 \Rightarrow y = 2- y = 1$

   Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y)=(1;1), (2;-1)$

   Trả lời